#Infinity VII: afronding van deze serie

7049660_origWij zijn nu op het einde van deze serie gekomen. Deze diende om u het een en ander te vertellen over het fascinerende begrip oneindig in de wiskunde én als opmaat voor de lancering van mijn nieuwste chocoladeletter, de Infinity, volgende week dinsdag, 23 september.

Het verhaal van oneindig is echter nog lang niet af! De vorige keer behandelde ik de begrippen aftelbaar en overaftelbaar oneindig. Maar er valt nog zo veel meer te vertellen.

300950Alef

Bijvoorbeeld over het symbool hiernaast, de alef, de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet. En over het gebruik hiervan door de wiskundige Georg Cantor om de grootte van verschillende soorten oneindig te onderscheiden (alef-getal).

Want, zoals u in de aflevering van de vorige keer hebt gezien: niet alle oneindige verzamelingen zijn even groot! Of preciezer uitgedrukt: oneindige verzamelingen kunnen een verschillende kardinaliteit hebben.

Nog veel meer

En ik heb het ook nog niet over nóg vreemdere oneindige verzamelingen gehad: verzamelingen die bestaan uit deelverzamelingen van zichzelf. Ook de continuumhypothese van diezelfde Cantor kwam niet aan bod. Dat is jammer, al was het alleen maar om u te laten zien dat er in de wiskunde soms bewezen kan worden dat een bepaalde stelling niet kán worden bewezen (of kan worden ontkracht).

Maar goed, dit is natuurlijk geen college wiskunde. Wilt u meer over oneindig weten, dan komt u door de in de serie aangereikte wiskundige begrippen als Google-zoekterm te gebruiken een heel eind. Voor de hele serie verwijs ik naar deze pagina op mijn webstek, waar alle afleveringen achter elkaar staan.

Chocolate_fractalErgens geen chocola van kunnen maken

Kunt u er nu nog geen chocola van maken? Ik kon dat gelukkig wel.

Wilt u van de resutaten van mijn inspanningen meegenieten, leg uw slaapzak dan alvast maar klaar voor de ingang van mijn webwinkeltje ! De deuren gaan in de nacht van 22 op 23 september (begin astronomische herfst) voor u open. Ik heet u alvast van harte welkom!

 

tastymaths_zw_kleiner

#Infinity VI: aftelbaar oneindig en overaftelbaar

$_84
Borduurvoorbeelden

In de vorige aflevering ben ik bewust wat gemakkelijk heen gestapt over de precieze betekenis van het begrip aftelbaar. Dat deed ik door een beroep te doen op uw intuïtie. Voor eindige verzamelingen lijkt mij dat wel voldoende.

Maar wat betekent dat aftelbaar nu voor oneindige verzamelingen? Met het tellen van de elementen daarvan zijn we nooit klaar (vandaar dat oneindig), maar dat aftelbaar betekent dat er wél een telsysteem te bedenken valt voor die elementen, waarmee je alle elementen als het ware van een nummertje kunt voorzien.

Bij de natuurlijke getallen ligt het voor de hand dat dit kan, maar hoe zit het nu met rationale getallen (in de wandeling vaak breuken genoemd, maar een breuk is vooral een schrijfwijze)? Voorbeelden: 1/2, 2/7, 9/4, -2/5, -5/2, 8/4. Dit is in ieder geval een oneindige verzameling, dat tellen stopt nooit.

Aftelbaar?

Maar is het ook een aftelbare verzameling? Dan zouden we een telsysteem moeten ontwerpen waarmee alle rationale getallen van een nummertje kunnen worden voorzien. Dat kán en hieronder staat een plaatje dat meer zegt dan woorden. Alle breuken zijn daar in een schema gevangen en met de rode lijn wandel je door dat schema heen. Zo kan ieder getal een nummertje krijgen.

oneindig6Toelichting: in een breuk staat in de teller het nummer van de bijbehorende rij, in de noemer het nummer van de bijbehorende kolom. Zo komt de breuk 2/5 in de tweede rij en in de vijfde kolom.

 

 

 

 

Overaftelbaar

Er zijn ook verzamelingen die niet aftelbaar oneindig zijn, die heten dan overaftelbaar. De verzameling van de reële getallen is een voorbeeld. Of, meer meetkundig: de verzameling van alle punten op de getallenlijn.

750px-Number-line.svg

De wiskundige Cantor bewees dat met een tamelijk eenvoudig bewijs.

Geen college wiskunde

100419-awesome-professorDeze berichtjes vormen geen college wiskunde, dus ik laat het hierbij. Bent u geïnteresseerd in een echt wiskundige behandeling, dan raad ik u aan dit online college van de TUDelft te volgen, dat is op het niveau van eerstejaars (?) wiskundestudenten.

Terzijde

Toen ik zelf (theoretische natuurkunde) studeerde begreep ik de stof van een wiskundecollege lang niet altijd, om er jaren later achter te komen dat dat niet aan mij had gelegen, maar aan de dienstdoende docent. De docent van dit college, Mark Veraar, vind ik echter heel duidelijk in zijn uitleg en hij probeert zijn studenten ook bij zijn verhaal te betrekken. Aanrader dus, maar – zoals gezegd – wel op niveau.

tastymaths_zw_kleiner

#Infinity III: limieten, oneindigheden en Cantor

LimietAsymp3

Als ik mijn privéleerlingen duidelijk moet maken wat een horizontale asymptoot van een grafiek is, wijs ik wat vaag naar rechts (of links) op de tekening en zeg dan zoiets als “Als je maar ver genoeg naar rechts (links) gaat kruipt de grafiek (die rode lijn) steeds dichter naar die (horizontale) lijn toe.”

Daarmee bouw ik voort op wat Aristoteles het potentieel oneindige noemde. Dit ter onderscheiding van het begrip actueel oneindig.

Proces

Het begrip oneindig is in die benadering meer een proces dan een toestand: je kunt steeds nog iets verder naar rechts (links), en dan nog iets verder, en dan nog iets verder, en … . Zoiets gebeurt ook als je de natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3,..) steeds met 1 laat toenemen: als je denkt dat je nu eindelijk eens bij dat oneindig bent aangekomen (het actuele oneindig), dan kan iemand anders altijd zeggen “Ja, maar tel bij dat getal nu nog maar eens 1 op.”

0Limiet naar oneindig

Toen in de zeventiende eeuw wiskundigen als Newton en Leibniz de Differentiaal & Integraalrekening ontwikkelden, hadden zij behoefte aan het begrip limiet als x naar oneindig. Dat is in de kern het proces dat hierboven beschreven staat, waarbij die x de variabele is. Ik merk voor de volledigheid nog op dat het symbool ∞, de lemniscaat, gebruikt wordt voor het begrip oneindig.

Erg diep gingen zij toen nog niet in op de precieze wiskundige betekenis van dat begrip oneindig. Dat was ook niet nodig: Newton gebruikte die Differentiaal & Integraalrekening vooral om natuurkundige processen, en dan met name bewegingen, te beschrijven. En voor een (theoretisch) natuurkundige geldt: als iets werkt, dan is het (in ieder geval voorlopig) goed.

 Cantor

Het was de Deens/Duits/Russische Georg Cantor die het begrip oneindig een stuk preciezer in kaart bracht en er zo bijvoorbeeld achter kwam dat de ene oneindige verzameling niet even groot hoeft te zijn als de andere.

Om dat ook voor u aannemelijk te maken besteed ik maandag eerst wat aandacht aan Cantors Verzamelingenleer en dan met name aan de een-op-een correspondentie uit die leer.

 

Alle delen van deze serie vindt u hier. Deze serie wordt u aangeboden door:

tastymaths_zw_kleiner

#Infinity I: van Hier naar Oneindig

Infinity I: Van Hier naar Oneindig

 

“Ik houd oneindig veel van je.”

“Wat voor soort oneindig bedoel je eigenlijk, schat? Aftelbaar oneindig of overaftelbaar? “

Het zal u duidelijk zijn wat de achtergrond van de tweede spreker vermoedelijk is.

Oneindig is een woord dat vaak in het spraakgebruik opduikt zonder dat de gebruiker ervan beseft wat hij of zij nu eigenlijk precies zegt (of zingt). “Het heelal is oneindig groot.” en “Moleculen zijn oneindig klein.”, zijn uitspraken waarin dat oneindig staat voor onvoorstelbaar. Ik denk dat ook het Nederlands-Vlaamse zangduo uit de video hierboven, Sasha & Davy, het begrip in deze zin gebruikt, al heb ik geen informatie over hun wiskundeachtergrond kunnen achterhalen. Mensen hebben oneindig veel moeite met grote aantallen en zodra het hen wat te groot wordt wordt het woord oneindig (Engels: Infinity) maar van stal gehaald.

Goddelijk

Filosofen hebben zich door de jaren heen wel met het begrip oneindig bezig gehouden. En binnen wat ik maar de zweefsector noem wordt vaak het verband met het goddelijke gelegd. Volgens mij is dit slechts het verschuiven van het probleem.

Het is eigenlijk pas vrij recent dat wiskundigen zich op de precieze betekenis van dat oneindig hebben gestort. Een naam die in dit verband als eerste moet worden genoemd is die van Georg (Ferdinand Ludwig Philipp) Cantor (1845- 1918). In de tweede helft van zijn leven werd deze geplaagd door depressies en paranoia en de mythe wil dat dat veroorzaakt werd door al dat gepieker over oneindig.

Serie over oneindig

De komende drie weken zal ik hier zo’n drie keer per week een berichtje achterlaten over het wiskundige begrip oneindig en ook over deze Cantor. Deze serie dient als opmaat voor het aan land brengen van de nieuwe vangst van TastyMaths™: de Infinity (en de Choco-pi), voorzien voor 23 september 2014, het begin van de astronomische herfst.

Ik breng u de komende weken dus Van Hier naar Oneindig. Lees “#Infinity I: van Hier naar Oneindig” verder