Tag: bewijs

Construeer de wortel; nu met oplossing

Let us say we want to find the square root of some length, GH. First, draw a line segment FG which is one unit long. Next, locate K, which is the midpoint of FH. Draw a semicircle with a center of K and FH as a diameter. Finally, draw a line perpendicular to FH through G. The length of IG will be the square root of the length of GH.

Kunt u met Algebra bewijzen dat dit laatste inderdaad zo is?

Oplossing

Deze vindt u bijvoorbeeld hier. Maar dit bewijs van Descartes is een klassieker voor wie (Geschiedenis van de) Wiskunde heeft gestudeerd.

Over de gebruikte methode:

Descartes

Redactie WiskundE-brief geveld door hitte

Een andere verklaring weet ik anders niet te bedenken voor deze passage uit de WiskundE-brief van vandaag, 28 mei:

Balen over bewijsopdracht

…

Er werd name­lijk ge­vraagd om iets te bewij­zen.
Het werk­woord ‘bewij­zen’ behoort welis­waar tot de examen­werk­woorden waarvan de beteke­nis in de sylla­bus nauwkeu­rig is omschre­ven, maar het ontbrak altijd in de pilotex­amens. En in de lesme­thoden is de op­dracht ‘bewijs’ ook nauwe­lijks te vinden.

Bij opgave 6 werd aan de kandida­ten ge­vraagd om te bewij­zen dat het snij­punt van twee grafie­ken een top is van de eerstge­noemde grafiek. De om­schrij­ving van het werk­woord bewij­zen is ondanks een taalkun­dige misser vrij helder: een redene­ring en/of exacte bereke­ning waaruit de juist­heid van het gestel­de blijkt. In dit geval ligt een bereke­ning voor de hand en die moet uiter­aard exact zijn.

Omdat het signaal­woord ‘exact’ echter ontbrak, dachten veel leerlin­gen dat zij deze opgave mochten aanpak­ken met behulp van de grafi­sche rekenma­chine. Dat resul­teerde niet zelden in een score van 0 punten of hoog­stens 2 punten als de afgelei­de tenmin­ste nog goed was bepaald.

gk

Is dit nu werkelijk een pleidooi voor introductie van het begrip exact bewijzen? Bestaat er soms iets als ongeveer bewijzen? Is de belangrijkste methode uit de Wiskunde niet juist dat bewijs?

Of moet ik het bovenstaande zien als een pleidooi voor nog meer signaalwoorden in de examens, als zouden alleen deze de gewenste Pavlov-reflex bij leerlingen opwekken?

Bewijs is bewijs, puntuit. Geen discussie nodig.

Teleurstelling

Dat sommige docenten teleurgesteld zijn over de resultaten van hun leerlingen, dat begrijp ik natuurlijk best. Maar zijzelf hebben hierin dan een steek laten vallen, niet de toetsenmakers (hun collega’s overigens). Zij hebben die (vermaledijde) lijst met ‘examenwerkwoorden’ dan kennelijk niet voldoende behandeld in de klas.

“Meester, het stond niet in proefexamen”, zou u dat accepteren als uw leerlingen een fout maken in hun echte examen? Ik denk het niet. Bovendien: in het proefexamen 2016 komt “Bewijs” wel degelijk voor (met dank aan  voor de tip), zelfs twee keer.

Er wordt in de passage ook nog eens lafjes naar de wiskundemethoden gewezen. Is dit hoe docenten tegenwoordig met leerboeken omgaan, zijn deze dan hun Bijbel of hun Koran geworden? Zijn zij slaaf geworden van het gebruikte boek? Uitgever Noordhoff lacht in zijn vuistje! In bijlage 2 van de syllabus (een officieel, CvTE, stuk) staat het allemaal helder omschreven, zoals redacteur Gerard Koolstra zelf ook moet toegeven.

Weersverwachting

Ik wens de redactie het beste met het herstel. Een troost: morgen wordt het koeler. En misschien weet ik dan inmiddels ook wat die “taalkundige misser” is. “Enige verbijstering”, dat lijkt mij de voornaamste taalmisser. Help me op weg als u kunt.

PS Examenwerkwoorden Wiskunde
8.5_artikel_euclides_wiskunde_jan_2013 (4)

Bewijs van abc-vermoeden: niet te lezen

MochizukiHet zou het Bewijs van de Eeuw kunnen zijn: Shinichi Mochizuki publiceerde eind augustus 2012, zonder enige ophef, vier documenten op zijn website die het bewijs van het ABC-vermoeden zouden leveren.

Enige probleem: niemand van zijn collega-wiskundigen slaagde er tot nu toe in het bewijs te doorgronden. Het complete verhaal vindt u hier.

Misschien wilt u zelf een poging wagen het werk te doorgronden? Waarschuwing: de auteur schat dat het de gemiddelde wiskundestudent zo’n 10 jaar zal kosten om het bewijs te begrijpen.

#IFTTT, programmeren voor de allergrootste digibeet

IF-THEN-ELSE-END_flowchartGisteren, tijdens @Scionline was er een leuke minipresentatie van @JerryVermanen, datajournalist bij Nu.nl. Hij wees ons op het bestaan van de webstek If This Than That (IFTTT). Ik had daar nog nooit van gehoord, maar mijn interesse was direct gewekt, al wat het alleen maar omdat Als-Dan-redeneringen binnen bewijzen in de wiskunde vaak voorkomen.

If Then

Om een voorbeeld te geven: ‘Als n een even natuurlijk getal is, dan is n/2 ook een natuurlijk getal”. Als je ervan uit gaat dat die n even én natuurlijk is, dan volgt bovenstaande conclusie onafwendbaar, volgens de spijkerharde wetten van de wiskunde.

Ook al weet ik niet zo veel van programmeren, ik weet wel dat If-Then regels ook vaak in code voorkomen. De betekenis binnen programmeren verschilt van die in de wiskunde, maar er zijn ook grote overeenkomsten.

IFTTT

De site van IFTTT biedt u de mogelijkheid tot programmeren voor dummies. De syntaxis van een door u te programmeren regel is:

Als [actie 1], dan [actie 2].

Wat die [actie 1] en [actie 2] zijn kun je zelf kiezen, met behulp van plaatjes. Makkelijker kan het niet gemaakt worden! Ik kan hier nu een hele uitleg geven, maar u kunt beter eens wat gaan experimenteren op de webstek zelf. Het wijst zich vanzelf.

Wat wel wat jammer is: er zijn wat basisplaatjes van ‘channels‘ die je kunt inzetten, maar wil je bijvoorbeeld het ‘kanaal’ Twitter koppelen, dan moet je toestemming verlenen voor allerlei ongewenste zaken waarmee je de privacy van jezelf én anderen schendt. Ik weet: velen zitten hier niet mee, maar apps, die hetzelfde doen, die zal ik zelf nooit gebruiken.