Let us say we want to find the square root of some length, GH. First, draw a line segment FG which is one unit long. Next, locate K, which is the midpoint of FH. Draw a semicircle with a center of K and FH as a diameter. Finally, draw a line perpendicular to FH through G. The length of IG will be the square root of the length of GH.
Kunt u met Algebra bewijzen dat dit laatste inderdaad zo is?
Oplossing
Deze vindt u bijvoorbeeld hier. Maar dit bewijs van Descartes is een klassieker voor wie (Geschiedenis van de) Wiskunde heeft gestudeerd.
Een andere verklaring weet ik anders niet te bedenken voor deze passage uit de WiskundE-brief van vandaag, 28 mei:
Balen over bewijsopdracht
…
Er werd namelijk gevraagd om iets te bewijzen.
Het werkwoord ‘bewijzen’ behoort weliswaar tot de examenwerkwoorden waarvan de betekenis in de syllabus nauwkeurig is omschreven, maar het ontbrak altijd in de pilotexamens. En in de lesmethoden is de opdracht ‘bewijs’ ook nauwelijks te vinden.
Bij opgave 6 werd aan de kandidaten gevraagd om te bewijzen dat het snijpunt van twee grafieken een top is van de eerstgenoemde grafiek. De omschrijving van het werkwoord bewijzen is ondanks een taalkundige misser vrij helder: een redenering en/of exacte berekening waaruit de juistheid van het gestelde blijkt. In dit geval ligt een berekening voor de hand en die moet uiteraard exact zijn.
Omdat het signaalwoord ‘exact’ echter ontbrak, dachten veel leerlingen dat zij deze opgave mochten aanpakken met behulp van de grafische rekenmachine. Dat resulteerde niet zelden in een score van 0 punten of hoogstens 2 punten als de afgeleide tenminste nog goed was bepaald.
gk
Is dit nu werkelijk een pleidooi voor introductie van het begrip exact bewijzen? Bestaat er soms iets als ongeveer bewijzen? Is de belangrijkste methode uit de Wiskunde niet juist dat bewijs?
Of moet ik het bovenstaande zien als een pleidooi voor nog meer signaalwoorden in de examens, als zouden alleen deze de gewenste Pavlov-reflex bij leerlingen opwekken?
Dat sommige docenten teleurgesteld zijn over de resultaten van hun leerlingen, dat begrijp ik natuurlijk best. Maar zijzelf hebben hierin dan een steek laten vallen, niet de toetsenmakers (hun collega’s overigens). Zij hebben die (vermaledijde) lijst met ‘examenwerkwoorden’ dan kennelijk niet voldoende behandeld in de klas.
“Meester, het stond niet in proefexamen”, zou u dat accepteren als uw leerlingen een fout maken in hun echte examen? Ik denk het niet. Bovendien: in het proefexamen 2016 komt “Bewijs” wel degelijk voor (met dank aan @wiskundeflot voor de tip), zelfs twee keer.
Er wordt in de passage ook nog eens lafjes naar de wiskundemethoden gewezen. Is dit hoe docenten tegenwoordig met leerboeken omgaan, zijn deze dan hun Bijbel of hun Koran geworden? Zijn zij slaaf geworden van het gebruikte boek? Uitgever Noordhoff lacht in zijn vuistje! In bijlage 2 van de syllabus (een officieel, CvTE, stuk) staat het allemaal helder omschreven, zoals redacteur Gerard Koolstra zelf ook moet toegeven.
Weersverwachting
Ik wens de redactie het beste met het herstel. Een troost: morgen wordt het koeler. En misschien weet ik dan inmiddels ook wat die “taalkundige misser” is. “Enige verbijstering”, dat lijkt mij de voornaamste taalmisser. Help me op weg als u kunt.
Het zou het Bewijs van de Eeuw kunnen zijn: Shinichi Mochizuki publiceerde eind augustus 2012, zonder enige ophef, vier documenten op zijn website die het bewijs van het ABC-vermoeden zouden leveren.
Enige probleem: niemand van zijn collega-wiskundigen slaagde er tot nu toe in het bewijs te doorgronden. Het complete verhaal vindt u hier.
Misschien wilt u zelf een poging wagen het werk te doorgronden? Waarschuwing: de auteur schat dat het de gemiddelde wiskundestudent zo’n 10 jaar zal kosten om het bewijs te begrijpen.
Bovenstaande figuur brengt zo’n bewijs (naast het bewijs uit het ongerijmde een persoonlijke favoriet) heel aardig in beeld. Heeft u meer met tekst en formules, dan moet u hier zijn.
Duidelijk? Nog steeds niet? Echt niet? Dan hieronder een wat uitgebreidere uitleg uit de mond van Jean Chretien, voormalig premier van Canada (1993 – 2003).
Gisteren, tijdens @Scionline was er een leuke minipresentatie van @JerryVermanen, datajournalist bij Nu.nl. Hij wees ons op het bestaan van de webstek If This Than That (IFTTT). Ik had daar nog nooit van gehoord, maar mijn interesse was direct gewekt, al wat het alleen maar omdat Als-Dan-redeneringen binnen bewijzen in de wiskunde vaak voorkomen.
If Then
Om een voorbeeld te geven: ‘Als n een evennatuurlijk getal is, dan is n/2 ook een natuurlijk getal”. Als je ervan uit gaat dat die n even én natuurlijk is, dan volgt bovenstaande conclusie onafwendbaar, volgens de spijkerharde wetten van de wiskunde.
Ook al weet ik niet zo veel van programmeren, ik weet wel dat If-Then regels ook vaak in code voorkomen. De betekenis binnen programmeren verschilt van die in de wiskunde, maar er zijn ook grote overeenkomsten.
IFTTT
De site van IFTTT biedt u de mogelijkheid tot programmeren voor dummies. De syntaxis van een door u te programmeren regel is:
Als [actie 1], dan [actie 2].
Wat die [actie 1] en [actie 2] zijn kun je zelf kiezen, met behulp van plaatjes. Makkelijker kan het niet gemaakt worden! Ik kan hier nu een hele uitleg geven, maar u kunt beter eens wat gaan experimenteren op de webstek zelf. Het wijst zich vanzelf.
Wat wel wat jammer is: er zijn wat basisplaatjes van ‘channels‘ die je kunt inzetten, maar wil je bijvoorbeeld het ‘kanaal’ Twitter koppelen, dan moet je toestemming verlenen voor allerlei ongewenste zaken waarmee je de privacy van jezelf én anderen schendt. Ik weet: velen zitten hier niet mee, maar apps, die hetzelfde doen, die zal ik zelf nooit gebruiken.
Let us say we want to find the square root of some length, GH. First, draw a line segment FG which is one unit long. Next, locate K, which is the midpoint of FH. Draw a semicircle with a center of K and FH as a diameter. Finally, draw a line perpendicular to FH through G. The length of IG will be the square root of the length of GH.
