Van de schoonheid en de #wiskunde

Paul Dirac en formules
The hugely influential theoretical physicist Paul Dirac said: “What makes the theory of relativity so acceptable to physicists in spite of its going against the principle of simplicity is its great mathematical beauty. This is a quality which cannot be defined, any more than beauty in art can be defined, but which people who study mathematics usually have no difficulty in appreciating.”

Ik besteedde al eens eerder aandacht aan de esthetiek van wiskundige formules.

Vandaag verscheen er in Frontiers in NeuroScience een artikel over een onderzoek, waarin, via fMRI, neuroscans gemaakt waren van vijftien wiskundigen aan wie verschillende formules gepresenteerd werden. Van te voren hadden zij van elke formule aangegeven of ze die mooi dan wel lelijk vonden (‘neutraal’ kon ook).

Op de scans bleek dat in deze condities dezelfde delen van het brein geactiveerd werden als die welke verantwoordelijk zijn voor het ervaren van artistieke ‘schoonheid’ in meer algemene zin.

U kunt dus vanavond net zo goed Wiswijs bestuderen als naar een concert met Bachmuziek gaan!

BBC News besteedt meer aandacht aan het onderzoek.

 

 

 

 

 

LiegGrafiek van Week 6

Het moest er toch eens van komen. Bijgaand cirkel-diagram is al diverse malen en door verscheidene mensen ingediend.

Popular Demand brengt mij nu tot plaatsing, al is het een overbekend voorbeeld, een klassieker. En niet voor niets: het is een treffend voorbeeld dat je met 3D-getekende cirkeldiagrammen aardig kunt LiegGrafieken. Ik heb aan deze methode wel eens eerder een beetje aandacht geschonken, maar bij deze staat deze oplichterstruc nu echt in de spotlights.

En daarmee ook wijlen Steve Jobs (Apple) die zo, in 2008, de verdeling van de Amerikaanse markt voor smartphones probeerde te illustreren. De groene taartpunt stelt het marktaandeel van Apple voor in dat jaar. Je ziet dat het marktaandeel van Steve’s Apple groter lijkt dan bijvoorbeeld dat van de categorie Other (paars).

So far so good. 

Plat

appleshare.001Maar als je de percentages erbij haalt en er een plat cirkeldiagram van maakt, dan krijg je de figuur hiernaast. En dat vertelt een ander verhaal (eventueel even klikken op de figuur). Het aandeel Apple op de markt is ineens kleiner dan dat van Other. Het gebruik van perspectief (en schaduw) gaf een vertekend beeld van de achterliggende data.

Winnaar

Omdat er deze keer zo veel indieners waren en het eigenlijk een behoorlijk bekende LiegGrafiek is, wordt er deze week niemand tot winnaar uitgeroepen (met op het einde van de serie een kans op een fles Pi-wijn). Nu ja, toch maar eentje, Willie de Wit@WPAJJdeWit, omdat hij ook deze link doorstuurde met wat meer eenvoudige LiegGrafieken. Gefeliciteerd, Willie!

Euclidische vakdidactiek (8): contexten

karsteN_maChteN_3Ik schreef het al eerder, in een bijzinnetje: het al dan niet gebruiken van contexten binnen het wiskundeonderwijs is voor mij een keuze van secundair belang. Primair is de vraag of dat gebruik bijdraagt aan begrip en inzicht (mijn axioma 1). Doen die contexten dat: gebruiken. Doen ze dat niet: niet gebruiken.

Wiswijs

In ons boek Wiswijs hanteren wij die lijn dan ook. Bij het introduceren van machten met gebroken of negatieve exponenten blijkt bijvoorbeeld een context over rentes, of iets soortgelijks, bij leerlingen beter aan te slaan dan via het domweg, zonder context, definiëren van dergelijke machten. Ik gebruik het werkwoord ‘aanslaan’ hier overigens niet voor niets, voor het bereiken van begrip en inzicht is motivatie uiteraard van belang.

A of B

Ik heb de introductie van Wiskunde A in het vwo, begin tachtiger jaren, als een bevrijding ervaren, niet zo zeer voor mijzelf, als wel voor mijn leerlingen, toentertijd die van de Knorringa Avondscholengemeenschap in Amsterdam. Niet alleen was er ineens een keuzemogelijkheid (A of B) voor leerlingen die geen enkele aspiratie hadden om door te stromen richting het harde bèta, maar bijvoorbeeld psychologie wilden gaan studeren. Bovendien kwam er een antwoord op hun vraag, de eeuwige vraag van leerlingen: Waar is dit nu allemaal voor nodig?

Maar de contexten die bij A gebruikt werden verrijkten tegelijk ook mijn eigen didactisch repertoire: er was ineens veel meer mogelijk.

Realistisch

Het woord context wordt binnen het Nederlandse wiskundeonderwijs vaak gebruikt in combinatie met het woord realistisch. Maar dat vind ik niet zo’n gelukkige combinatie, zeker als je ‘realistisch’ vertaald met ‘aan de praktijk ontleend’. Contexten kunnen immers ook ontleend worden aan de wiskunde zelf.

Versimpeling

Het is helemaal niet zo gemakkelijk om te werken met echte, authentieke, realistische contexten. De praktijk is daar namelijk meestal te ingewikkeld voor, dus wordt de werkelijkheid bij gebruik vaak versimpeld. Contexten in methodes en in eindexamens hebben dan ook regelmatig iets gekunstelds.

Ik zie daar zelf niet zo heel veel kwaad in mits leerlingen zich maar iets bij zo’n context kunnen voorstellen. Per slot van rekening is een van de wezenskenmerken van het vak wiskunde de abstractie, wiskunde opgetild uit de (pseudo)werkelijkheid. Er is in die opgaven vooral klare taal nodig, ontdaan van overbodige elementen en overbodige figuren.

Tot slot formuleer ik nog even de eerste alinea als een stelling:

Als contexten leiden tot een beter begrip en inzicht, dan inzetten. Anders: niet doen

Ik moet zelf nog wel even over deze stelling nadenken, al lijkt deze een rechtstreekse consequentie van mijn axioma 1. Ik kom hier zeker nog op terug in een volgende aflevering.

Ik doe het niet meer !

Update-SchedulePi-dag 2014 gaat niet door. Althans: mijn aandeel daarin niet. Op mijn pagina over de Math Mob, mijn plan voor dit jaar, schreef ik:

 Ik wil wel weer het voortouw nemen, maar het welslagen van de onderneming hangt natuurlijk van uw medewerking af!

En die medewerking was er niet, in ieder geval was die er (veels) te weinig. En als leerlingen (in Apeldoorn) dan uiteindelijk óók niet blijken te willen, omdat er toch echt een paar keer gerepeteerd zal moeten worden, dan houdt het voor mij op.

Misschien moet ik maar verhuizen naar de Verenigde Staten? Daar houden ze in ieder geval meer van wat showelementen (zie al hun Flash Mob filmpjes op YouTube) en beseft men ook beter dat je, wil je tenminste ergens komen, je ook tijd zult moeten investeren. Succes krijg je immers maar zelden cadeau.

Sponsors

Het is niet zo eenvoudig om binnen Wiskundeland iets wat een tikkeltje excentrisch is, zoals een Math Mob, van de grond te tillen. Er moeten om te beginnen sponsors geworven worden, liefs niet-commercieel.

Maar instanties die nota bene speciaal in het leven geroepen zijn om ons vak in het zonnetje te zetten, als Platform Wiskunde Nederland, gaven niet thuis. Hun directeur schreef mij dat dit zijn prioriteit was: ‘Er komen binnenkort rapporten uit die ook met ministeries worden besproken.’ Van Platform Bèta Techniek kreeg ik niet eens antwoord op mijn verzoek tot sponsoring.

Doorzettingsvermogen

Maar is die sponsoring eenmaal rond, zoals dit keer al het geval was (met vooral dank aan StudySteps), dan volgt de hele rest nog, de organisatie van het feitelijke proces, inclusief het overwinnen van alle hobbels die je onderweg ongetwijfeld tegen komt. Je hebt niet alleen een aardig idee nodig, maar voor het verwezenlijken daarvan ook het nodige doorzettingsvermogen.

Nu heb ik dat laatste zelf wel, maar ook ik heb altijd de hulp, de inzet, van anderen, van u, nodig. Pi-dag is namelijk niet mijn privéfeestje, waarvoor ik u heb uitgenodigd. Ik zie de dag als iets gezamenlijks, zoals de bedenker van Pi-dag, Larry Shaw, dat in 1988 ook zag.

Evenementenbureau

Ik ben geen evenementenbureau. Ik doe dit allemaal in mijn vrije tijd, zonder enige vergoeding. En ik kan u, op grond van mijn ervaringen in heden en verleden, verzekeren: dit werk slurpt tijd.

In de media hoef ik zelf echt niet meer terecht te komen. Ik ben daar met mijn, meestal een tikkeltje exotische, ideeën al voldoende vaak in te vinden geweest en ontleen daar ook een deel van mijn naamsbekendheid aan.

We’re Only in it for the Money

Kortom: ik treed terug, niet alleen nu, dit is een besluit voor altijd. Ik ga vanaf nu doen wat ik deze weken eigenlijk al had moeten doen (zzp’er): gewoon mijn geld verdienen.

Wilt u iets met Pi-dag, dit jaar, of in de komende jaren, dat kan nog best hoor! Graag zelfs. Een lezing, een boekje, of toch iets wilders: u zegt het maar. Maar daarvoor zult u of uw bedrijf of instelling wel eerst de portemonnee moeten trekken. Dat maakt u dan medeverantwoordelijk voor het welslagen van de onderneming, dat lijkt mij een betere uitgangspositie. In het Engels is daar een mooi woord voor: ownership.

Evenementenbureau Wisc staat dan voor u klaar!

frankzappa-wereonlyinitforthemoney

 

 

 

#LiegGrafiek van Week 4

Guardian; 18 december 2013
Guardian; 18 december 2013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U moet er weer even inkomen, dat is duidelijk: in 2014 ontving ik nog geen nieuwe LiegGrafieken van u. Maar deze zijn weer meer dan welkom!

Wel voorzie ik nu het einde aan deze serie. Van de meeste soorten van Liegen hebben wij hier namelijk al wel eens een voorbeeld gezien.

Wat in ieder geval nog ontbreekt: gerommel aan de assen door met ongelijke datastappen te werken, maar die voor te stellen als gelijke. Klinkt misschien een beetje cryptisch, maar u – niet dom – begrijpt vast wat ik bedoel.

Bovenstaande infographic werd half december gepubliceerd in de Guardian, met als kop van het bijbehorende artikel: Is this the worst ever infographic? Dat wordt nog dringen aan de top, want de eerste LiegGrafiek die ik hier publiceerde staat daar ook!

Meer achtergrondinformatie vindt u hier. Lees vooral ook de comments, daar zijn Britten toch veel sterker in dan wij.

Winnaar van deze week is Christian Bokhove, @cbokhove. Althans … dat denk ik: mijn belastingaangifte 2013 en mijn LiegGrafiek-administratie zijn wat door elkaar gelopen.

 

 

Euclidische vakdidactiek (7): nogmaals oefenen

9200000002271570Mijn vorige blogbericht in deze serie leidde tot aardig wat reacties, op de pagina zelf of per mail. Daar was ik blij mee.

Ik kom nu nog heel even terug op het onderwerp: oefenen. Of preciezer uitgedrukt: op oefenen en begrijpen. Ik herhaal echter eerst nog even twee axioma’s uit mijn serie:

Axioma 1

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

Axioma 2

Kennis zonder de daarop volgende stappen naar inzicht is voor het voortgezet en hoger onderwijs van nul en generlei waarde. Dat geldt in ieder geval voor het vak Wiskunde.

Oefenen of begrijpen

Een van die reacties kwam van Jo Nelissen van het FISME. Hij attendeerde mij op een publicatie van zijn hand, met als titel Oefenen of begrijpen, dat weer een reactie was op een eerder artikel van Verhoef, in het Tijdschrift voor Orthopedagogiek (49 , 2010, 63-67). Volgt u het nog?

Omdat er wel parallellen te trekken zijn tussen Jo’s zienswijze op het onderwerp en die van mij, voeg ik hier een link naar dat artikel toe. Zo gebruikt Jo de term ontplofte confettifabriek voor wat ik Thomas zijn lottoballenbak noemde. Wel merk ik op dat Jo het vooral over rekenen in het basisonderwijs heeft, terwijl ik mijn serie schrijf met vooral wiskunde in het VO in mijn hoofd.

Contexten

In de mailreacties van Jan van de Craats had hij het over de rol van contexten bij het oefenen. Over die contexten heb ik het zelf in deze serie echter nog nooit gehad en dat heeft een reden. De keuze al dan niet contexten gebruiken is voor mij namelijk secundair. Ik kom hier in volgende afleveringen vast op terug.

Maar eerst ga ik mij de komende week buigen over de vraag of ik een Axioma 3 nodig heb of dat ik aan een eerste Stelling toe ben. Mijn streven, dat overigens bij voorbaat tot mislukken gedoemd is, was namelijk een sluitend stelsel te ontwerpen, zoals Euclides dat ooit voor de Meetkunde deed.

 

Lesidee: de schapruimte van huismerken

amerkenIn de @Volkskrant stond afgelopen zaterdag een aardig artikel over de opmars van huismerken in het schap van onze supermarkten. Ter ondersteuning van hun betoog hadden de twee redacteuren een klein onderzoekje gedaan. Ze waren zich gelukkig bewust van de methodologische beperktheden van hun onderzoek: slechts in Amsterdam, en maar bij één supermarktketen. Dat staat netjes in een kader bij het artikel.

Hoofdsponsor

Maar dat die beperktheid zijn consequenties heeft voor de ‘uitslag’ van het onderzoek, daarvan lijken ze zich een stuk minder bewust. Zonder enig commentaar rolt er uit dat onderzoekje namelijk een percentage: 34% van de schapruimte wordt bezet door huismerken. Van significantie van cijfers hebben de auteurs kennelijk nog nooit gehoord.

Nu weet ik wel dat een krantenartikel geen wetenschappelijk artikel is, maar wat meer voorzichtigheid inzake cijfers zou ik wel op prijs stellen. Al was het alleen maar omdat een krant ook – althans zo denk ik erover – een opvoedkundige taak heeft. De NPD Nieuwsmedia adverteert tegenwoordig met de zin ‘De nieuwsmedia. Je hoofdsponsor‘, dan verwacht je toch wat van een krant.

Wat is schapruimte nu eigenlijk?

Maar nu iets anders: in het onderzoekje wordt de schapruimte bepaald aan de hand van foto’s van producten in een aantal Amsterdamse filialen van een landelijke supermarktketen. Maar nergens in het artikel staat wat de definitie is van schapruimte. Ik dacht even dat dit een lacune was in mijn kennis, dat ik gewoon had moeten weten wat dit is en wat de eenheid hiervoor is. Maar ook Google bracht mij geen soelaas.

Lesidee

Dus ik ben zelf maar wat gaan denken. En dat is iets wat uw leerlingen ook zouden kunnen gaan doen, het is een lesidee! U zou uw leerlingen een soortgelijk onderzoekje kunnen laten doen, waarin het begrip schapruimte wél gedefinieerd wordt en er wel degelijk met significantie van cijfers rekening wordt gehouden.

3D?

Ik dacht zelf eerst: schapruimte, dat zal wel over iets driedimensionaals gaan: het volume van de producten als maat voor (het percentage van) hun omzet. Want daar ging het de auteurs eigenlijk om, om een omzetvergelijking. Maar supermarkten wilden dit soort gegevens niet verschaffen, uit concurrentieoverwegingen. Maar is volume wel een goede maat voor die omzet? Ik denk zelf van niet. Uw leerlingen kunnen vast met (tegen)voorbeelden komen.

2D?

Er werden voor het onderzoekje foto’s genomen om die schapruimte te bepalen, dat duidt op iets tweedimensionaals. Maar is de oppervlakte van het vooraanzicht van een product dan een goede maat voor de relatieve omzet van dat product?

1D?

Iets ééndimensionaals dan: gewoon de lengtes op de plank meten. De graphic die bij het artikel staat duidt wel in deze richting.

Afijn, stof genoeg om over na te denken. En ik denk dat uw leerlingen best met een betere opzet voor zo’n onderzoek kunnen komen. Succes!

Hans Wisbrun, uw hoofdsponsor

Naschrift
Een van de auteurs van het artikel zond mij onderstaande tweet.

Euclidische Vakdidactiek (6): oefenen

oefening-baart-kunstDit is mijn eerste bericht van deze serie in 2014. Voor wie de serie niet vanaf het begin gevolgd heeft, hier staat een kort overzichtje.

Oefening baart zowel kunst als kunstjes. Geen zinnig mens, van welke (wiskunde)didactische overtuiging dan ook, zal ooit beweren dat je wiskunde kunt leren zonder oefening. Maar wanneer heeft het zin om te gaan oefenen?

Laat ik eerst, vooruitlopend op wat gaat komen, een onderscheid maken tussen leerstof waar echt helemaal niets aan te begrijpen valt, waar geen inzicht voor nodig is, en andere leerstof. Dat het symbool < in de wiskunde ‘is kleiner dan’ betekent, daar valt gewoon niets aan te begrijpen, dat zul je gewoon uit je hoofd moeten leren, al dan niet geholpen door een ezelsbruggetje. Het is een afspraak, die net zo goed anders had kunnen zijn.

Lotto-bal-23Lottoballen

Gelukkig is er in ons vak maar heel weinig dat je uit je hoofd moet leren, achter verreweg de meeste wiskundige begrippen zit namelijk … begrip. Natuurlijk, je kúnt het vak opvatten als een grote bak met lottoballen, waar je op goed geluk maar wat regels uit pakt, zoals mijn eigen privéleerling Tomas dat deed. Maar vroeg of laat loop je dan vast.

Op die manier geleerd worden het op den duur gewoon veel te veel regels, je gaat ze door elkaar halen.

a1mNzFzfQacmjWfVz-fS4jl72eJkfbmt4t8yenImKBVvK0kTmF0xjctABnaLJIm9Wezenskenmerk wiskunde

Maar erger: zo’n aanpak ontkent een van de wezenskenmerken van ons mooie vak, namelijk dat het te begrijpen valt. Deze aanpak belemmert ook stappen voorwaarts, gegeven het feit dat nieuwe wiskundige theorie altijd voortbouwt op al bestaande. Ja, je kunt een eerstegraads vergelijking volstrekt zonder begrip, als een kunstje, oplossen (naar links/rechts brengen; wegstrepen; ..), maar hoe pak je dan al die andere vergelijkingen aan?

Oefenen van begrippen

Voor de weinige zaken die je echt uit je hoofd moet leren geldt dat je al in een vroeg stadium kunt gaan oefenen. Op enig begrip hoef je in deze gevallen namelijk niet te gaan zitten wachten: dat zal toch nooit komen. Dus, bijvoorbeeld: twee kolommen met in de linkerkolom en in de rechterkolom getallen en dan als opdracht: ‘Plaats het juiste ongelijkheidsteken.’

Maar nu: het oefenen van begrijpelijke begrippen.

Op de lagere school haalde ik altijd tienen voor rekenen. Op het gymnasium werden dat, voor wiskunde, achten, maar gelukkig bleef ik de beste van de klas voor dat vak. Maar toch: ik begreep niet echt wat ik deed. Ik maakte mijn huiswerk, mijn proefwerken, maar ik had geen inzicht.

p_aufg1Dat laatste kwam genadeloos aan het licht toen, in de vijfde, het vak Stereometrie (zeg maar: 3D Meetkunde) werd geïntroduceerd. Bij de allereerste vraag in het boek liep ik al vast, ik begreep de vraagstelling niet eens, die was zo anders dan bij Algebra en Analyse, je had echt inzicht nodig. Mijn klasgenoot Henk R. begreep het wel onmiddellijk en streefde mij in dat vak dan ook direct voorbij.

Het is later, vlak voor het eindexamen, tot mijn opluchting allemaal toch nog ‘goed’ gekomen tussen mij en Stereometrie, doordat ik ontdekte dat veel examenvraagstukken toch neerkwamen op toepassing van die ene regel: je hebt bewezen dat een lijn loodrecht op een vlak staat als je kunt aantonen dat deze loodrecht op twee lijnen in dat vlak staan. Dat lukte mij, toch weer die acht. Maar wel zonder inzicht.

Dat inzicht kwam bij mij pas veel later, op de universiteit, toen het onderwijs daar ook op gericht was. Of misschien nog wel wat later: toen ik zelf wiskundeles ging geven en een wiskundeboek schreef.

Kletskoek(en)

Een van de voormannen van de Traditionalisten, Jan van de Craats, ontkracht, naar eigen zeggen, in zijn geruchtmakende pamflet Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen, een mythe uit het (realistische) rekenonderwijs: Eerst begrijpen, dan pas oefenen. Hij doet deze uitspraak over het rekenonderwijs op de basisschool, maar hij trekt dit in latere publicaties door naar het wiskundeonderwijs. Hij noemt deze mythe kletskoek en stelt zelfs dat het tegenovergestelde geldt: “Juist tijdens het oefenen ontstaat geleidelijk steeds meer begrip.”

Ik noem, op mijn beurt, juist Jan’s uitspraak kletskoek, al was het alleen maar op grond van mijn eigen ervaringen, als leerling én als leraar. Ik begrijp ook niet goed hoe een Hoogleraar in de wiskunde, die bovendien zelf heel aardige Zebraboekjes heeft geschreven, waarin hij juist mikt op dat inzicht, zo’n uitspraak kan doen. Alsof begrip vanzelf komt als je maar lang genoeg oefent.

Nee, Jan, voor begrip en inzicht is een docent nodig die zich in zijn of haar uitleg juist expliciet daarop richt. Doe je dat als docent niet, dan zal dat inzicht ook nooit, als een soort deus ex machina, over je leerlingen neerdalen, hoeveel sommen je die ook laat maken.

Didactische kampen

Voor mij is een complicerende factor in Jans betoog dat hij zich met zijn de-mythologisering tegelijk ook afkeert van de didactiek van de Realistische Wiskunde. Dat doe ik niet. Maar ik ben zeker ook geen echte fan van die laatste stroming (de nadruk die gelegd wordt op ‘realistische’ contexten vind ik bijvoorbeeld onterecht). Ik blijf in het midden van de twee rivaliserende kampen staan, zoals ik in mijn artikel over de rekentoets al schreef.

Nogmaals: oefenen

Begrip en inzicht is namelijk inhaerent aan ons vak!

Oefenen hoort bij alle leren, dus ook bij het leren van wiskunde. Maar oefenen is vooral bedoeld om iets wat je begrepen hebt te verankeren, een stevige basis te leggen voor volgende stappen. Natuurlijk is er, ook in mijn opvatting, sprake van een groeiproces: je kunt best aan het oefenen gaan als je iets nog niet helemaal 100% begrijpt. Maar oefenen en denken dat het met begrip en inzicht dan wel automatisch goed komt, dat is van een naïviteit die ik niet van een Hoogleraar had verwacht.


 Naschrift

Buiten uw zicht is er op grond van bovenstaand blogbericht een korte, aardige – want inhoudelijke en respectvolle – e-maildiscussie geweest met Jan van de Craats. Dat was natuurlijk ook wel te verwachten als je van iemand zegt dat deze kletskoek verkoopt ;-). Die term ontleende ik overigens aan Jans eigen pamflet.

In die discussie heb ik overigens geen aanleiding gezien bovenstaand bericht aan te passen. Ik voeg nog wel toe dat ik Jans opvattingen over de didactiek van het wiskundeonderwijs in het VO vooral ken via zijn Basisboek Wiskunde, dat vooral bestaat uit sommen.

Jans pamflet gaat echter vooral over het rekenonderwijs in het basisonderwijs en in dat debat stel ik mij zelf terughoudend op, om de doodeenvoudige reden dat ik dat onderwijs niet van binnenuit ken. Zodra rekenen het VO binnenkomt steek ik wel mijn vingertje op, omdat ik daar wél wat vanaf weet, of in ieder geval denk te weten. Zie mijn eigen artikel over de rekentoets.

Tegengas

Ik denk dat het goed was dat Jan ooit gezorgd heeft voor wat tegengas, omdat het wiskundeonderwijs in de loop der jaren te veel een monocultuur is geworden, met eigenlijk maar één, dominante, didactische stroming, die van de Realistische Wiskunde.

Wij

Maar ik denk ook dat het nu hoogste tijd wordt voor een tweede pamflet van Jan: Hoe wij ervoor gaan zorgen dat Daan en Sanne beter gaan rekenen. In deze titel leg ik zelf de klemtoon op dat ‘wij’.

Omdat Jan zich via e-mail tot mij persoonlijk richtte en, naar eigen zeggen, doelbewust geen reactie in het openbaar gaf, zal ik onze mailcorrespondentie hier niet publiceren.

Maths Trail Amsterdam

MathsTrail_YemeniIk heb gisteren mijn Wiscwandeling door Amsterdam vertaald in het Engels. Aanleiding is een excursie (a.s. maandag) voor wiskundigen/wiskundedidactici uit Jemen, die in het kader van een bezoek aan de Vrije Universiteit een weekje hier zijn voor een educatief programma (Masteryproject).

Op offertebasis vertaalde ik deze wandeling en begeleid ik hen straks door de mooiste stad van ons land. Als u wilt ontwerp ik op dezelfde basis met alle plezier wiskundewandelingen voor u en uw (buitenlandse) bezoekers !

Het gidsje zal vanaf komende week ook als E-boek in mijn webwinkel te koop zijn.