Euclidische vakdidactiek (7): nogmaals oefenen

9200000002271570Mijn vorige blogbericht in deze serie leidde tot aardig wat reacties, op de pagina zelf of per mail. Daar was ik blij mee.

Ik kom nu nog heel even terug op het onderwerp: oefenen. Of preciezer uitgedrukt: op oefenen en begrijpen. Ik herhaal echter eerst nog even twee axioma’s uit mijn serie

Axioma 1

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

 

Axioma 2

Kennis zonder de daarop volgende stappen naar inzicht is voor het voortgezet en hoger onderwijs van nul en generlei waarde. Dat geldt in ieder geval voor het vak Wiskunde.

 

Oefenen of begrijpen

Een van die reacties kwam van Jo Nelissen van het FISME. Hij attendeerde mij op een publicatie van zijn hand, met als titel Oefenen of begrijpen, dat weer een reactie was op een eerder artikel van Verhoef, in het Tijdschrift voor Orthopedagogiek (49 , 2010, 63-67). Volgt u het nog?

Omdat er wel parallellen te trekken zijn tussen Jo’s zienswijze op het onderwerp en die van mij, voeg ik hier een link naar dat artikel toe. Zo gebruikt Jo de term ontplofte confettifabriek voor wat ik Thomas zijn lottoballenbak noemde. Wel merk ik op dat Jo het vooral over rekenen in het basisonderwijs heeft, terwijl ik mijn serie schrijf met vooral wiskunde in het VO in mijn hoofd.

Contexten

In de mailreacties van Jan van de Craats had hij het over de rol van contexten bij het oefenen. Over die contexten heb ik het zelf in deze serie echter nog nooit gehad en dat heeft een reden. De keuze al dan niet contexten gebruiken is voor mij namelijk secundair. Ik kom hier in volgende afleveringen vast op terug.

Maar eerst ga ik mij de komende week buigen over de vraag of ik een Axioma 3 nodig heb of dat ik aan een eerste Stelling toe ben. Mijn streven, dat overigens bij voorbaat tot mislukken gedoemd is, was namelijk een sluitend stelsel te ontwerpen, zoals Euclides dat ooit voor de Meetkunde deed.

 

Euclidische Vakdidactiek (5): axioma 2

Even een herhaling, met behulp van een filmpje. Voor wie meer wil weten, hier staan de vorige vier delen van de reeks Euclidische Vakdidactiek:

De taxonomie van Bloom gaat uit van een hiërarchische ordening: zo is kennis (knowledge) bijvoorbeeld nodig voor begrip en inzicht (comprehension). Kennis is een noodzakelijke maar niet-voldoende voorwaarde voor begrip en inzicht. Dat bracht ik zelf al tot uitdrukking in mijn axioma 1:

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

In aflevering drie werd Bloom’s trede comprehension door mij, in navolging van van Dormolen en Zwaneveld, nog opgesplitst in:

  • receptief begrijpen
  • reproductief begrijpen
  • hebben van inzicht

Ik ben nu toe aan axioma 2

Kennis zonder de daarop volgende stappen naar inzicht is voor het voortgezet en hoger onderwijs van nul en generlei waarde. Dat geldt in ieder geval voor het vak Wiskunde.

Ik heb mij er altijd hogelijk over verbaasd als het streven naar inzicht door vertegenwoordigers van de Realistische Wiskunde werd geclaimd als hun exclusief bezit: de andere didactische stroming, die ik bij gebrek aan een beter alternatief maar de Traditionele noem, zou daar niet naar streven.

Nu wordt het hun in deze ook wel erg gemakkelijk gemaakt door sommige vertegenwoordigers van die Traditionele School, doordat deze zo de nadruk leggen op automatiseren, vaste procedures, oefenen, oefenen, oefenen.

Inzicht hoort bij Wiskunde

Maar inzicht is toch inhaerent aan het vak Wiskunde? Wat heeft het bijvoorbeeld voor zin om een eerstegraads vergelijking op te kunnen lossen, zonder inzicht in de wiskundige concepten die onder dat oplossen van een vergelijking liggen? Dat oplossen kan computeralgebrasoftware immers ook. Maar iemand moet dan toch inzicht blijven houden in hoe het onder die motorkap werkt, al was het alleen maar om deze software verder te kunnen ontwikkelen.

Inzicht is ook nodig voor de onderzoekstak van ons vak. Of dacht u nu echt dat onderzoekers, die uiteraard steeds verder willen komen, het kunnen laten bij de al lang bekende procedures? Dan kunnen zij wel stoppen met dat onderzoek en bevestigen zo het beeld van de buitenwereld: wiskunde = af en wiskunde = sommen maken.

2014

Blijft nog, onder andere, deze vraag over voor 2014: wat te doen met die leerlingen bij wie het, ook na eindeloos proberen, niet lukt om tot dat (in ieder geval door mij) verlangde niveau van inzicht te komen? Ontneem je hun zo niet dat gevoel van tevredenheid, voldoening, de yes!-factor, om een al lang bekend pad (bv: het kunnen oplossen van een eerstegraads vergelijking) toch correct bewandeld te hebben?

Deze en andere vragen komen in 2014 aan de orde. Ik wens u nu goede Kerstdagen en een mooi 2014!

 

 

Euclidische Vakdidactiek (4): de rol van Kennis

GearsGIFDe taxonomie van Bloom waar ik het al eerder over had is hiërarchisch geordend. Zo staat Begrip & Inzicht  (Bloom: Comprehension) boven Kennis (Knowledge) en Begrip & Inzicht weer onder Toepassing (Application).

Daar bedoelde de werkgroep van Bloom onder meer mee, dat wat op de ladder onder staat voorziet in de noodzakelijke basis voor wat er boven staat. Zo kan er zonder Kennis nooit sprake zijn van Begrip & Inzicht. Maar ook dat voor Bloom Comprehension boven Knowledge gaat. Dat geldt ook voor mij en ik zal deze uitspraak hieronder nog nader toelichten. Maar eerst een …

Disclaimer

Ik gebruik deze taxonomie van Bloom om de doodeenvoudige reden dat het de eerste was waar ik zelf in mijn lerarenopleiding mee geconfronteerd werd. Maar belangrijker: in mijn beroepscarrière (docent, leerplanontwikkelaar, lerarenopleider, vakdidacticus, onderwijskundige) bleek het een heel handig, overzichtelijk, instrument om zo af en toe te kunnen reflecteren op doelen van het wiskundeonderwijs.

Nu zijn er altijd onderwijskundige benweters die bij het hanteren van zo’n classificatie ‘niet-valide’ gaan roepen. Inmiddels weet ik dat dit voor hen vooral een scheldwoord is en dat er weer andere betweters zijn die deze taxonomie juist ‘uiterst valide’ zullen noemen.

Ik ben er een warm voorstander van om de lespraktijk zo veel mogelijk te stoelen op wetenschappelijke inzichten. Maar zolang wetenschappers over een onderwerp zelf nog aan het bakkeleien zijn, hanteer ik het voor de onderwijspraktijk gezonde principe: “Als jullie eruit zijn, dan hoor ik het wel”. En dan trek ik vervolgens gewoon mijn eigen plan, gebaseerd op mijn eigen kennis en ervaring. Daar hebben leerlingen wat aan.

Begrip & Inzicht boven Kennis

Zoals ik al in axioma 1 stelde:

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

In dat woordje leidend zat eigenlijk al besloten dat ik Begrip & Inzicht boven Kennis stel. Die Kennis is een noodzakelijke voorwaarde om tot Begrip & Inzicht te komen, maar geen voldoende voorwaarde. Dat geldt in ieder geval voor het vak Wiskunde. Kennis is als het ware de gereedschapskist die je altijd met je mee zou moeten dragen, niet meer maar ook niet minder.

Onrecht aan ons mooie vak

Over dat ‘niet meer’: wat voor zin heeft het als je, als leerling, bijvoorbeeld een eerstegraads vergelijking kunt oplossen via domweg ‘naar links/rechts werken’, zonder te weten wat je eigenlijk aan het doen bent. Pas als je begrijpt wat een variabele is, een vergelijking, een algebraïsche uitdrukking, dat =-teken, equivalentie van beweringen, enzovoorts (de onderliggende wiskundige concepten), sta je open voor uitbreiding, bijvoorbeeld naar het oplossen van tweedegraads vergelijkingen (waar de vaste oplossingsmethode weer anders is), het omwerken van formules, het toepassen (in een al dan niet wiskundige context), …

Ballenbak

Ik heb, zo schreef ik al eerder, de nodige leerlingen begeleid voor wie Wiskunde vooral een grote ballenbak met allemaal regeltjes was geworden. Dan kon ik het (onnodige) herstelwerk verrichten door hen duidelijk te maken dat Wiskunde niet een set met gebruiksaanwijzingen is, maar een echt vak waar je je hoofd bij moet gebruiken.

Over dit laatste laat ik mijn nichtje Sa Xi (inmiddels wel een stukje ouder) hieronder aan het woord.

Het doet afbreuk aan ons mooie vak als het alleen bij die gereedschapskist (Kennis) zou blijven. Sterker nog: dan kunnen leerlingen volgens mij maar beter een goede typecursus gaan volgen. Daar heb je zolang het bij alleen kennis blijft tenminste iets aan!

Dit stuk is nu al wat te lang. Een volgende vrijdag meer over dit onderwerp. Misschien ben ik, gezien wat ik hierboven schreef, al toe aan axioma 2. Tot dan!

 

Euclidische Vakdidactiek (3): Begrip & Inzicht

Rekenschrift Hendrick Swaen (1694)
Rekenschrift Hendrick Swaen (1694)

10/8, 10/8, 10/8, 10/8, 10/8, dat was het rijtje cijfers dat op de lagere school regelmatig onder mijn rekenwerk stond. Een 10 kreeg ik voor het rekenen, een 8 voor netheid. En dan, na vijf van deze duo’s, de verdiende beloning: een provincie stempel van de hoofdonderwijzer, mijnheer Bours.

Een heus rekenwonder was ik, zou je kunnen zeggen. Maar, terugkijkend, zeg ik nu: ik begreep van al die sommen echt geen hout, zeker niet van de vermenigvuldigingen en delingen. Ik deed gewoon keurig en precies na wat de meester had voorgedaan en dat was kennelijk voldoende voor al die tienen.

Maar wat bedoel ik hier eigenlijk met dat begrijpen?

Begrip en Inzicht

In mijn zoektocht naar de Euclidische Vakdidactiek noemde ik de twee begrippen uit het tussenkopje al in axioma 1. Het zijn twee woorden die in het dagelijks taalgebruik veelvuldig gebruikt worden, zonder dat wij ons ooit af vragen of wij daarmee altijd wel hetzelfde bedoelen.

Vandaar dat ik er hier even kort op inga. Met het mierenneuken van sommige onderwijskundigen over dit onderwerp heb ik zelf weinig (er is echt een hele bibliotheek geschreven rond alleen al dit onderwerp, inclusief geschriften over de taxonomie van Bloom, waar ik het een vorige keer over had). Maar ook voor de vakdidacticus en de leraar in mij is het belangrijk af en toe zaken wat nader te bepalen.

Onderverdeling van Begrijpen

In de nog steeds lezenswaardige brochure Handelen om te begrijpen (Zwaneveld, van Dormolen; uitgave van NVvW uit 1977) wordt het volgende onderscheid gemaakt:

  • receptief begrijpen
  • reproductief begrijpen
  • inzicht hebben

In de brochure worden bij elk van deze drie voorbeelden gegeven.

Je begrijpt iets receptief als je de uitleg van je leraar passief kunt volgen. Het klinkt allemaal heel logisch wat hij (of zij) zegt, het een volgt noodzakelijkerwijze uit het andere, enzovoorts. Maar vraag zo’n leerling na afloop niet om de uitleg nog eens te reproduceren. Dat lukt gewoon niet. De kennis zal ook snel vervliegen, zij is nog absoluut niet verankerd.

Iets verder ben je als leerling bij het reproductief begrijpen. Je kunt dan ook al iets met de aangebrachte kennis doen: reproduceren. Op dit niveau maakte ik toentertijd mijn rekensommen: ik deed keurig na wat de leraar mij had voorgedaan. In de brochure wordt daar nog als eis aan toegevoegd dat dat begrijpen op dit niveau niet klakkeloos gebeurt, maar dan vind ik zelf de indeling alleen maar vervuilen. Het werkwoord zegt namelijk voldoende: reproduceren, of dat nu klakkeloos gebeurt of niet.

Inzicht is van dat begrijpen het hoogste niveau: wat je geleerd hebt, receptief of reproductief begrepen, daar sta je dan helemaal boven en je zou de stof, hier eenmaal aangekomen, later (dat is dan de volgende stap) ook in betrekkelijk nieuwe situaties kunnen toepassen.

Blooms taxonomie
Blooms taxonomie
Weer terug naar Bloom

En nu wij het toch weer over de taxonomie van Bloom hebben, lijkt het mij goed u te wijzen op een webstek waar een aangepaste versie van een aangepaste versie (tja, onderwijskundigen moeten toch wat …) staat: Bloom’s Digital Taxonomy. Laat u echter niet in de war brengen door dat Digital in de titel, dat lijkt mij nonsens. Alsof er voor onderwijs via digitale middelen ineens een heel andere indeling nodig is. Het is gewoon een aangepaste versie, op grond van voortschrijdend inzicht.

Blooms taxonomie aangepast
Blooms taxonomie aangepast

Wat ik prettig vind aan deze aanpassing is niet zo zeer dat er hierin geen zelfstandige naamwoorden gebruikt worden (knowledge, comprehension, …) maar werkwoorden (remembering, understanding, ..). Maar ik vind het vooral fijn dat er ook allerlei andere werkwoorden gekoppeld worden aan de hoofdcategorieën van Bloom (zie ook de figuur hieronder).

Zo wordt Bloom aktietaal, beschrijvingen in (beter) waarneembaar leerlingengedrag.

 

bloom-verbs

Dit is een blogbericht, geen wetenschappelijk artikel. Ik stop dus nu. Volgende week is het, vermoed ik, tijd voor mijn eerste stelling.

Toegift: Blooms Taxonomy According to Seinfeld

Euclidische Vakdidactiek (2): axioma 1

Euclid's_Elements_1573_EditionEuclides ontwikkelde de later naar hem vernoemde Meetkunde op een systematische manier: uit een beperkt aantal axioma’s leidde hij, gebruik makend van wat niet-gedefinieerde concepten (punt, lijn, cirkel, straal, middelpunt, ..), stellingen af, ware uitspraken.

In een poging om de lopende discussies over Vakdidactiek Wiskunde weer te laten gaan over dat waar ze over zouden moeten gaan, probeer ik die Vakdidactiek de komende weken in hetzelfde, dwingende, Euclidische harnas te proppen. Dat dat mij nooit zal gaan lukken, dat staat eigenlijk al wel vast. Dit zal dus eigenlijk meer een persoonlijke zoektocht zijn, hopelijk wel met uitkomsten waar u ook wat aan heeft.

Ik poneerde vorige week al

Axioma 1

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

en beloofde dat ik hier nog nader op in zou gaan. Dat gebeurt deze week in twee fasen: vandaag (over dat leidend), en morgen (over begrip en inzicht).

Taxonomie van Bloom

Een commissie onder leiding van Benjamin Bloom stelde al in 1956 een taxonomie van onderwijsleerdoelenvast, een hiërarchisch-geordend stelsel van niveaus van leren. Deze vormt als het ware een trap met treden in een opklimmende moeilijkheidsgraad.

Als ik mij nu even beperk tot het cognitieve domein zijn dat:

  • kennis
  • inzicht
  • toepassing
  • analyse
  • synthese
  • evaluation (in het Engels; dit begrip is wat lastiger in het Nederlands te vertalen; misschien komt ‘reflectie’ er nog het dichtst bij)

Deze taxonomie wordt binnen het onderwijs nog steeds veel gebruikt, al deed Bloom zelf de volgende uitspraak over het bijbehorende handboek:

One of the most widely cited yet least read books in American education.

NB: u ziet: dat inzicht van mij staat niet eens erg hoog op dit lijstje met nastrevenswaardige doelstellingen! Kennelijk achtte Bloom andere doelstellingen van meer waarde. Meer hierover in volgende episodes.

Leidend

Dat leidend in axioma 1 bedoel ik bijna letterlijk: de leiding nemend, vooraan. Als wij onze leerlingen wiskunde willen leren, dan zouden wij als docenten allereerst moeten kijken of de manier waarop, het materiaal waarmee, enzovoorts., wel bijdragen aan dat begrip en inzicht. Deze doelstelling hoeft door onze leerlingen overigens niet stante-pede bereikt te worden, het kan ook best op iets langere termijn en in stappen. Maar daar zouden wij wel naartoe moeten werken, vind ik!

En als wij bijvoorbeeld voor een bepaalde berekening (als het door elkaar delen van twee getallen) de keuze hebben tussen twee onderwijsmethodes, waarvan de ene niet verder gaat dan het aanbrengen van kennis en de ander begrip en inzicht bereikt is de keuze snel gemaakt, in ieder geval door mij. Maar als ik dit nu al nader zou gaan uitwerken, komen we al aardig dicht in de buurt van een heuse stelling over de traditionele versus de moderne staartdeling en dat lijkt mij nog wat te vroeg.

Morgen meer over begrip en inzicht. We gebruiken deze termen bijna dagelijks in de onderwijspraktijk, maar wat betekenen ze nu?

Euclidische Vakdidactiek Wiskunde (1): aftrap

Euclid's_Elements_1573_EditionIn mijn artikel over de #rekentoets positioneer ik mij ‘in het midden’ van de strijd tussen de twee bakkeleiende vakdidactische stromingen in Wiskundeland, die van de Realistische Wiskunde en de Traditionele.

Maar dat is natuurlijk nogal vaag. Ik neem wat afstand van deze twee heilsleren, maar waar sta ik dan zelf precies? In mijn artikel schets ik wat persoonlijke achtergronden, maar erg diep ga ik – bewust – niet in op de materie. Wel stip ik een begrip (twee begrippen, zoals u wilt)  aan wat voor mij allesbepalend zou moeten zijn voor de Vakdidactiek Wiskunde: Begrip en Inzicht.

Nu wil ik wel wat verder gaan, in een bij voorbaat al mislukte poging mijn opvattingen in een streng Euclidisch stelsel te vatten, uitgaande van een paar axioma’s van waaruit vervolgens allerlei stellingen bewezen gaan worden.

Ik sta nu aan het begin van dit avontuur en ik waarschuw u alvast: mijn zoektocht zal wel eventjes gaan duren! Ik ben van plan elke woensdag mijn stelsel uit te breiden, waarbij het onvermijdelijk is dat ik u af en toe ook wel eens op een dwaalpad mee zal voeren.

Ik weet nu zelfs nog niet eens hoeveel en welke axioma’s ik nodig zal hebben om het systeem compleet te maken. En ik wijs u zekerheidshalve nog even op de betrekkelijke relativiteit van deze axioma’s. Zij worden door mij gekozen op grond van overtuiging, kennis, ervaring, enzovoorts, maar met een andere keuze krijg je direct een ander stelsel. Door het laten vallen van Euclides parallelenpostulaat onstaat immers ook direct een andere, niet-Euclidische, Meetkunde.

Axioma 1, zoals u had kunnen verwachten:

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

Een volgende keer ga ik hier nader op in.

Reacties van u op mijn voornemen zijn overigens nu al welkom.

 

 

Videoprijs voor Wiskunde Academie terecht?

Deze week is Het Gouden Oog, de NTR Onderwijs Mediaprijs voor de beste videoIes toegekend aan Roeland Hiele van de Wiskunde Academie. Met deze club mensen had ik al eerder virtueel kennis gemaakt en over hun filmpjes en de daarbij behorende didactiek valt best wat te zeggen. Dat doe ik dan ook bij deze.

Flipping the Classroom

Het filmpje past binnen een trend binnen de didactiek (niet specifiek wiskunde): Flipping the Classroom. Heel in het kort: thuis krijgt een leerling eerst uitleg via een instructievideo van de Wiskunde Academie. In de les daarna is er zo meer tijd om leerlingen individueel te begeleiden. De volgorde van de traditionele les wordt a.h.w. omgedraaid.

Dit is een betrekkelijk nieuw concept en het denken en praten hierover – of je als school/sectie/docent nu zo wilt werken of niet – zet in ieder geval aan om weer eens na te denken over onderwijsvormen. Zeker t.o.v. een heel traditionele les (docent praat zijn les vol, de leerling luistert slechts; dan huiswerk; de volgende les eventueel nog klassikale bespreking) zijn er voordelen, met name waar het de individuele aandacht voor de leerling betreft. Er wordt zo ook (mits de leerlingen de video echt van te voren bestudeerd hebben!) flinke tijdswinst geboekt: wat buiten de les kán, gebeurt ook buiten de les.

Kanttekeningen

Dit is niet de plaats om deze (vak)didactische trend uitgebreid te behandelen, je vult daar zo een heel proefschrift mee. Ik wil hier wel wat kanttekeningen plaatsen.

Op de eerste plaats: het valt natuurlijk te prijzen dat jonge leraren hun geloof in een andere didactiek niet alleen met de mond belijden, maar ook in daden omzetten! Ik weet niet of ze ervoor vergoed worden (ik heb maandenlang geprobeerd de namen achter dit initiatief te achterhalen, maar ook al is de club op bijna alle sociale media actief: geen sjoege), maar de ontwikkeling van video’s slurpt tijd. Het winnende filmpje ziet er technisch goed uit en is hierin zeker de gelijke van soortgelijke video’s van de Khan Academy.

Prijs terecht?

Is het filmpje de prijs waard? Als dat het geval zou zijn, ben ik in ieder geval teleurgesteld in de kwaliteit van de andere meedingende videofilmpjes.

Dat heeft deels met die didactiek te maken. Ik geloof daar zelf maar half in. En bovendien ook niet dat de kracht van een filmpje als dit die van een goed en goed vormgegeven (Amerikanen zijn daar heel sterk in) boek overstijgt.

De reeks (ze maakten er zo’n honderd tot nu toe) profileert zichzelf als ‘Je wiskundedocent met een pauzeknop’. Maar een boek kent die knop toch eigenlijk ook? En vooruit en achteruit spoelen gaat nog gemakkelijker ook! Om over een index maar niet te spreken … . Wat, zo vraag ik mij af, is nu de meerwaarde?

Onderwijsleergesprek

Het concept Flipping the Classroom vind ik belangrijk als aangrijpingspunt om eens te kijken naar wat er nu per se in de klas moet gebeuren en wat elders kan. En als je als alternatief een saaie en slechte leraar voor een krijtbord hebt is deze video misschien wel een beter alternatief.

Maar voor mij is onderwijs ook: samen met je leerlingen kennis opbouwen. En daar bedoel ik dan vooral mee: via een onderwijsleergesprek, via samenspel dus. Dan leren leerlingen echt iets, meestal niet door alleen maar tegen iemand aan te kijken, hoe duidelijk die persoon ook (live of per video) uitlegt.

En – hierop aansluitend – waar is de interactie voor leerlingen met wiskundeapplets? Het lijkt wel of de Wiskunde Academie alle ontwikkelingen op dit gebied heeft gemist! En toch is er al heel veel ontwikkeld, bijvoorbeeld hier. Ik ben technisch wat minder onderlegd, maar deze applets zouden volgens mij best geïntegreerd kunnen worden met die video’s. Of misschien moeten ze het wel zoeken in een site met teksten, figuren, animaties, met applets, met video’s, met … al het moois dat er door de jaren heen al door anderen ontwikkeld is.

Zo lang dat niet het geval is zie ik meer in initiatieven als VO-content, met hun stercollecties. Of als dat van Math4All.

Aanvullend

Is al dat werk van de Wiskunde Academie dan zinloos? Absoluut niet! Zo te zien worden die video’s goed bekeken, dat geeft in ieder geval de vraag ernaar aan. Ze lijken mij een uitkomst voor als een leerling lessen heeft gemist. Of voor vlak voor een proefwerk, als herhaling. Aanvullend leermateriaal dus.

Dus, zolang de pretenties en ambities niet te hoog zijn, zou ik willen zeggen: ga vooral zo door! Maar misschien is het wel effectiever om eens contact op te nemen met VO-content. Dan zou een situatie kunnen ontstaan die voordelen voor beide partijen heeft.

En wil de Wiskunde Academie wat adviezen op het terrein van wat ik de microvakdidactiek noem, mijn aanbod voor wat hulp deed ik al eerder. Via het schrijven aan Wiswijs heb ik daar veel over geleerd.

Wat vindt u nu? U kunt het weten!

Uitslag wordt vrijdag 18 oktober gepubliceerd.

En die is: vijf mensen namen de moeite te stemmen. Dat feit is het enige dat ik hier met goed fatsoen kan publiceren.

 

‘Delen door 0 is flauwekul’ is flauwekul

Ik had eens een privéleerling, laten we hem Thomas noemen, die de ‘verkeerde’ wiskunde had gekozen. Thomas had Wiskunde A in zijn pakket, maar had Wiskunde B nodig voor zijn vervolgopleiding.

Over schouders meekijken

Een voordeel van privébegeleiding verzorgen boven voor de klas staan is dat je constant over de schouders van een leerling die aan het werk is mee kunt kijken. Je ziet onmiddellijk waar de fouten worden gemaakt en kunt daarop direct inspelen.

Mag dat?

Thomas was de sympathiekste leerling die ik ooit gehad heb en werkte ook behoorlijk hard. Maar ergens was er iets misgegaan in de onderbouw, zijn wiskundige basis bleek zwak.

Wat mij het meeste opviel was de manier waarop hij naar de wiskunde keek. Voor hem was wiskunde één grote ballenbak met allemaal regeltjes, sommige juist, sommige fout. Bij elke stap in een afleiding pakte hij op goed geluk een regeltje uit die bak en paste dat toe. Vermenigvuldigen van machten? Dan de exponenten dus ook maar vermenigvuldigen?

Vervolgens keek hij mij met een mengeling van hulpeloosheid en hoop aan en vroeg mij ‘Mag dat?‘. Gaf ik dan aan dat dat niet ‘mocht’, dan probeerde hij gewoon een ander regeltje: bij vermenigvuldigen van machten ‘moet’ je de exponenten dan kennelijk maar optellen. En als dat niet lukte was er wel weer een ander regeltje.

Het zinnetje Mag dat? is sindsdien bij mij komen te staan voor een opvatting in de vakdidactiek die ik absoluut niet deel: wiskunde als een pakket regels waarmee een leerling alleen maar moet oefenen, oefenen, oefenen.

Regels in de wiskunde

Verkeersregels zijn betrekkelijk willekeurig. Wij hadden bijvoorbeeld ook best met zijn allen kunnen afspreken dat verkeer van links voor gaat. Maar het aardige van wiskunde is nu juist dat de meeste regels volstrekt logisch zijn. Voordeel daarvan is dat je, als je eenmaal begrepen hebt waarom regels zijn zoals ze zijn, niets (nu ja: bijna niets) meer hoeft te onthouden. Alles volgt uit al het voorafgaande.

Delen door 0 is flauwekul

Dat delen door 0 niet ‘mag’ is volstrekt logisch als je weet dat delen de inverse bewerking is van vermenigvuldigen. Je hebt dus helemaal geen regeltjes als in de titel van dit bericht nodig! Pak Wiswijs er bijvoorbeeld maar eens bij.

Beste collega’s, blijf daarom in jullie uitleg de nadruk op begrip en inzicht leggen.

Of je nu zweert bij de realistische wiskunde of eerder van de traditionele school bent, dat maakt hierbij niet uit. Over het lottospel kun je prima wiskundige opgaven maken, maar wiskunde is absoluut geen lotto.