Pseudo-realistische wiskunde

Het is lastig, dat is waar: geschikte contexten vinden voor echte (“authentieke”) realistische opgaven. Dat hoeft van mij ook niet per se, wiskunde heeft per slot van rekening met abstractie te maken. Maar er zijn ondergrenzen.

Op Twitter zag ik onderstaande opgave langskomen, uit een officieel examen (GCSE) in het Verenigd Koninkrijk. Deze opgave gaat wat mij betreft door zo’n ondergrens, vanwege de prijs voor tegels die genoemd wordt. Deze is per m² (nog een bof dat het geen inches² zijn ;-)), niet per stuk.

Maar de vraag of de gekochte tegels wel zullen passen lijkt voor het beantwoorden van de vraag totaal niet relevant. Waarschijnlijk passen ze niet, en zeker niet in alle richtingen, dus er zullen tegels bijgeslepen moeten worden. Toch betaal je voor die tegels. Bij mijn weten – ik ben geen klusser – verkopen ze in de handel namelijk geen delen van hele tegels.

Het zou al realistischer zijn als de maat van de gebruikte tegels werd gegeven. Dan zou een leerling zelf een schatting van het benodigde aantal tegels kunnen maken: nauwelijks gecompliceerder, wel realistischer. Nauwkeuriger lijkt mij niet nodig, tegels zullen wel per zoveel stuks gaan of misschien wel per pallet (?).

Wat vindt u zelf van deze opgave? Uw reactie kunt u onderaan deze pagina plaatsen.

9 Questions That Show How Common Core Math is Ruining America

cc-satire-13

 

Look at this filthy cube. Plagued by a smaller, parasitic cube.

Just tragic.

Ik heb er al eens eerder aandacht aan besteed: de Amerikaanse discussie over Common Core Math en de parallellen die deze heeft met de discussie over Realistisch Wiskundeonderwijs in Nederland. Ik schrijf discussie, maar regelmatig lijkt het niet om verschillen in didactiek te gaan, maar is het pure vuilspuiterij. Daarbij wordt – uiteraard – niet geschuwd om een valse, of op zijn minst onvolledige, voorstelling van zaken te geven.

Ben Orlin, een Amerikaanse wiskundeleraar die in Groot-Brittannië woont en werkt, schreef hier een prachtig blogbericht over. Het voorbeeld dat hierboven staat komt hieruit. Maar het hele blogbericht is de moeite van het lezen meer dan waard. Let wel op het einde, vet!

 

Aftrekken is inverse Bewerking van Optellen

In de USA woedt momenteel een debat rond Common Core Math dat parallellen vertoont met wat hier de discussie over Realistische Wiskundeonderwijs (in het vervolg: RW) versus Traditioneel Wiskundeonderwijs (TW) is. Hierbij nog wel de aantekening dat het woord Math in de USA meer omvat (ook wat wij hier Rekenen zouden noemen) dan Wiskunde alleen.

Wat mij in ieder geval onzinnig lijkt in de discussie hier, is dat, in de verdediging van/aanval op RW/TW, alle elementen ervan op een grote hoop worden gegooid. Je bent voor het een of voor het ander. Je mag, als docent, kennelijk ook niet doen aan een beetje van dit, een beetje van dat of aan Een beetje van Maggi, een beetje van mijzelf. Dit terwijl onderzoeken aantonen dat niet de toegepaste didactiek het (beter) leren bepaalt, maar de kwaliteit van de docent.

Beide kampen prediken heilsleren waar je geen millimeter van af mag wijken, of je wordt als ketter beschouwd.

Contexten

Zo vind ik zelf dat RW nogal is doorgeschoten waar het het gebruik van contexten (bijvoorbeeld: rekenen met geld) betreft. Deze zijn centraal komen te staan, terwijl voor mij Begrip & Inzicht centraal staan.

Als contexten helpen bij het tot stand brengen van dat Begrip & Inzicht, dan kun je ze natuurlijk prima gebruiken. Maar lang niet iedere wiskundesom hoeft van mij context te bevatten. Het gaat namelijk helemaal niet om die contexten, het gaat om Wiskunde. In mijn serie over Euclidische Vakdidactiek ging ik hier al nader op in.

Kolomsgewijs rekenen

De tegenstanders van RW wijzen het kolomsgewijs optellen en aftrekken categorisch af en willen weer terug naar aloude methoden (met ‘lenen’). Daar begrijp ik, gezien mijn uitgangspositie, weinig van.

Die oude methode leidt voor wie het trucje kan toepassen weliswaar sneller tot het resultaat, maar met Begrip & Inzicht heeft deze niets te maken. Als het alleen om dat resultaat zou gaan, dan ben je bovendien met een rekenmachine nóg sneller klaar. Maar die rekenmachine wordt door deze groep nu juist weer categorisch afgewezen. Snapt u het nog?

Inverse

Bovenstaand filmpje positioneert aftrekken nadrukkelijk als de inverse bewerking van optellen en dat komt dat Begrip & Inzicht ten goede. Bovendien komt de relatie die hier gelegd wordt later ook nog van pas, bijvoorbeeld als het gaat om het optellen of aftrekken van breuken, om het rekenen met negatieve getallen, enz.

Bovendien komen dergelijke paren in de Wiskunde veel vaker voor: vermenig-vuldigen/delen, machtsverheffen/worteltrekken, machten/wortels of logaritmen , … . Op deze manier wordt aftrekken los getrokken van het specifieke trucje en krijgt het de plaats die haar toekomt: binnen de Wiskunde en niet in Harry Potter’s Zweinstein. Dat lijkt mij het nastreven waard!

 

Euclidische Vakdidactiek (6): oefenen

oefening-baart-kunstDit is mijn eerste bericht van deze serie in 2014. Voor wie de serie niet vanaf het begin gevolgd heeft, hier staat een kort overzichtje.

Oefening baart zowel kunst als kunstjes. Geen zinnig mens, van welke (wiskunde)didactische overtuiging dan ook, zal ooit beweren dat je wiskunde kunt leren zonder oefening. Maar wanneer heeft het zin om te gaan oefenen?

Laat ik eerst, vooruitlopend op wat gaat komen, een onderscheid maken tussen leerstof waar echt helemaal niets aan te begrijpen valt, waar geen inzicht voor nodig is, en andere leerstof. Dat het symbool < in de wiskunde ‘is kleiner dan’ betekent, daar valt gewoon niets aan te begrijpen, dat zul je gewoon uit je hoofd moeten leren, al dan niet geholpen door een ezelsbruggetje. Het is een afspraak, die net zo goed anders had kunnen zijn.

Lotto-bal-23Lottoballen

Gelukkig is er in ons vak maar heel weinig dat je uit je hoofd moet leren, achter verreweg de meeste wiskundige begrippen zit namelijk … begrip. Natuurlijk, je kúnt het vak opvatten als een grote bak met lottoballen, waar je op goed geluk maar wat regels uit pakt, zoals mijn eigen privéleerling Tomas dat deed. Maar vroeg of laat loop je dan vast.

Op die manier geleerd worden het op den duur gewoon veel te veel regels, je gaat ze door elkaar halen.

a1mNzFzfQacmjWfVz-fS4jl72eJkfbmt4t8yenImKBVvK0kTmF0xjctABnaLJIm9Wezenskenmerk wiskunde

Maar erger: zo’n aanpak ontkent een van de wezenskenmerken van ons mooie vak, namelijk dat het te begrijpen valt. Deze aanpak belemmert ook stappen voorwaarts, gegeven het feit dat nieuwe wiskundige theorie altijd voortbouwt op al bestaande. Ja, je kunt een eerstegraads vergelijking volstrekt zonder begrip, als een kunstje, oplossen (naar links/rechts brengen; wegstrepen; ..), maar hoe pak je dan al die andere vergelijkingen aan?

Oefenen van begrippen

Voor de weinige zaken die je echt uit je hoofd moet leren geldt dat je al in een vroeg stadium kunt gaan oefenen. Op enig begrip hoef je in deze gevallen namelijk niet te gaan zitten wachten: dat zal toch nooit komen. Dus, bijvoorbeeld: twee kolommen met in de linkerkolom en in de rechterkolom getallen en dan als opdracht: ‘Plaats het juiste ongelijkheidsteken.’

Maar nu: het oefenen van begrijpelijke begrippen. Op de lagere school haalde ik altijd tienen voor rekenen. Op het gymnasium werden dat, voor wiskunde, achten, maar gelukkig bleef ik de beste van de klas voor dat vak. Maar toch: ik begreep niet echt wat ik deed. Ik maakte mijn huiswerk, mijn proefwerken, maar ik had geen inzicht.

p_aufg1Dat laatste kwam genadeloos aan het licht toen, in de vijfde, het vak Stereometrie (zeg maar: 3D Meetkunde) werd geïntroduceerd. Bij de allereerste vraag in het boek liep ik al vast, ik begreep de vraagstelling niet eens, die was zo anders dan bij Algebra en Analyse, je had echt inzicht nodig. Mijn klasgenoot Henk R. begreep het wel onmiddellijk en streefde mij in dat vak dan ook direct voorbij.

Het is later, vlak voor het eindexamen, tot mijn opluchting allemaal toch nog ‘goed’ gekomen tussen mij en Stereometrie, doordat ik ontdekte dat veel examenvraagstukken toch neerkwamen op toepassing van die ene regel: je hebt bewezen dat een lijn loodrecht op een vlak staat als je kunt aantonen dat deze loodrecht op twee lijnen in dat vlak staan. Dat lukte mij, toch weer die acht. Maar wel zonder inzicht.

Dat inzicht kwam bij mij pas veel later, op de universiteit, toen het onderwijs daar ook op gericht was. Of misschien nog wel wat later: toen ik zelf wiskundeles ging geven en een wiskundeboek schreef.

Kletskoek(en)

Een van de voormannen van de Traditionalisten, Jan van de Craats, ontkracht, naar eigen zeggen, in zijn geruchtmakende pamflet Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen, een mythe uit het (realistische) rekenonderwijs: Eerst begrijpen, dan pas oefenen. Hij doet deze uitspraak over het rekenonderwijs op de basisschool, maar hij trekt dit in latere publicaties door naar het wiskundeonderwijs. Hij noemt deze mythe kletskoek en stelt zelfs dat het tegenovergestelde geldt: “Juist tijdens het oefenen ontstaat geleidelijk steeds meer begrip.”

Ik noem, op mijn beurt, juist Jan’s uitspraak kletskoek, al was het alleen maar op grond van mijn eigen ervaringen, als leerling én als leraar. Ik begrijp ook niet goed hoe een Hoogleraar in de wiskunde, die bovendien zelf heel aardige Zebraboekjes heeft geschreven, waarin hij juist mikt op dat inzicht, zo’n uitspraak kan doen. Alsof begrip vanzelf komt als je maar lang genoeg oefent.

Nee, Jan, voor begrip en inzicht is een docent nodig die zich in zijn of haar uitleg juist expliciet daarop richt. Doe je dat als docent niet, dan zal dat inzicht ook nooit, als een soort deus ex machina, over je leerlingen neerdalen, hoeveel sommen je die ook laat maken.

Didactische kampen

Voor mij is een complicerende factor in Jans betoog dat hij zich met zijn de-mythologisering tegelijk ook afkeert van de didactiek van de Realistische Wiskunde. Dat doe ik niet. Maar ik ben zeker ook geen echte fan van die laatste stroming (de nadruk die gelegd wordt op ‘realistische’ contexten vind ik bijvoorbeeld onterecht). Ik blijf in het midden van de twee rivaliserende kampen staan, zoals ik in mijn artikel over de rekentoets al schreef.

Nogmaals: oefenen

Begrip en inzicht is namelijk inhaerent aan ons vak!

Oefenen hoort bij alle leren, dus ook bij het leren van wiskunde. Maar oefenen is vooral bedoeld om iets wat je begrepen hebt te verankeren, een stevige basis te leggen voor volgende stappen. Natuurlijk is er, ook in mijn opvatting, sprake van een groeiproces: je kunt best aan het oefenen gaan als je iets nog niet helemaal 100% begrijpt. Maar oefenen en denken dat het met begrip en inzicht dan wel automatisch goed komt, dat is van een naïviteit die ik niet van een Hoogleraar had verwacht.


 Naschrift

Buiten uw zicht is er op grond van bovenstaand blogbericht een korte, aardige – want inhoudelijke en respectvolle – e-maildiscussie geweest met Jan van de Craats. Dat was natuurlijk ook wel te verwachten als je van iemand zegt dat deze kletskoek verkoopt ;-). Die term ontleende ik overigens aan Jans eigen pamflet.

In die discussie heb ik overigens geen aanleiding gezien bovenstaand bericht aan te passen. Ik voeg nog wel toe dat ik Jans opvattingen over de didactiek van het wiskundeonderwijs in het VO vooral ken via zijn Basisboek Wiskunde.

Jans pamflet gaat echter vooral over het rekenonderwijs in het basisonderwijs en in dat debat stel ik mij zelf terughoudend op, om de doodeenvoudige reden dat ik dat onderwijs niet van binnenuit ken. Zodra rekenen het VO binnenkomt steek ik wel mijn vingertje op, omdat ik daar wél wat vanaf weet, of in ieder geval denk te weten. Zie mijn eigen artikel over de rekentoets.

Tegengas

Ik denk dat het goed was dat Jan ooit gezorgd heeft voor wat tegengas, omdat het wiskundeonderwijs in de loop der jaren te veel een monocultuur is geworden, met eigenlijk maar één, dominante, didactische stroming, die van de Realistische Wiskunde.

Wij

Maar ik denk ook dat het nu hoogste tijd wordt voor een tweede pamflet van Jan: Hoe wij ervoor gaan zorgen dat Daan en Sanne beter gaan rekenen. In deze titel leg ik zelf de klemtoon op dat ‘wij’.

Omdat Jan zich via e-mail tot mij persoonlijk richtte en, naar eigen zeggen, doelbewust geen reactie in het openbaar gaf, zal ik onze mailcorrespondentie hier niet publiceren.