Euclidische Vakdidactiek (4): de rol van Kennis

GearsGIFDe taxonomie van Bloom waar ik het al eerder over had is hiërarchisch geordend. Zo staat Begrip & Inzicht  (Bloom: Comprehension) boven Kennis (Knowledge) en Begrip & Inzicht weer onder Toepassing (Application).

Daar bedoelde de werkgroep van Bloom onder meer mee, dat wat op de ladder onder staat voorziet in de noodzakelijke basis voor wat er boven staat. Zo kan er zonder Kennis nooit sprake zijn van Begrip & Inzicht. Maar ook dat voor Bloom Comprehension boven Knowledge gaat. Dat geldt ook voor mij en ik zal deze uitspraak hieronder nog nader toelichten. Maar eerst een …

Disclaimer

Ik gebruik deze taxonomie van Bloom om de doodeenvoudige reden dat het de eerste was waar ik zelf in mijn lerarenopleiding mee geconfronteerd werd. Maar belangrijker: in mijn beroepscarrière (docent, leerplanontwikkelaar, lerarenopleider, vakdidacticus, onderwijskundige) bleek het een heel handig, overzichtelijk, instrument om zo af en toe te kunnen reflecteren op doelen van het wiskundeonderwijs.

Nu zijn er altijd onderwijskundige benweters die bij het hanteren van zo’n classificatie ‘niet-valide’ gaan roepen. Inmiddels weet ik dat dit voor hen vooral een scheldwoord is en dat er weer andere betweters zijn die deze taxonomie juist ‘uiterst valide’ zullen noemen.

Ik ben er een warm voorstander van om de lespraktijk zo veel mogelijk te stoelen op wetenschappelijke inzichten. Maar zolang wetenschappers over een onderwerp zelf nog aan het bakkeleien zijn, hanteer ik het voor de onderwijspraktijk gezonde principe: “Als jullie eruit zijn, dan hoor ik het wel”. En dan trek ik vervolgens gewoon mijn eigen plan, gebaseerd op mijn eigen kennis en ervaring. Daar hebben leerlingen wat aan.

Begrip & Inzicht boven Kennis

Zoals ik al in axioma 1 stelde:

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

In dat woordje leidend zat eigenlijk al besloten dat ik Begrip & Inzicht boven Kennis stel. Die Kennis is een noodzakelijke voorwaarde om tot Begrip & Inzicht te komen, maar geen voldoende voorwaarde. Dat geldt in ieder geval voor het vak Wiskunde. Kennis is als het ware de gereedschapskist die je altijd met je mee zou moeten dragen, niet meer maar ook niet minder.

Onrecht aan ons mooie vak

Over dat ‘niet meer’: wat voor zin heeft het als je, als leerling, bijvoorbeeld een eerstegraads vergelijking kunt oplossen via domweg ‘naar links/rechts werken’, zonder te weten wat je eigenlijk aan het doen bent. Pas als je begrijpt wat een variabele is, een vergelijking, een algebraïsche uitdrukking, dat =-teken, equivalentie van beweringen, enzovoorts (de onderliggende wiskundige concepten), sta je open voor uitbreiding, bijvoorbeeld naar het oplossen van tweedegraads vergelijkingen (waar de vaste oplossingsmethode weer anders is), het omwerken van formules, het toepassen (in een al dan niet wiskundige context), …

Ballenbak

Ik heb, zo schreef ik al eerder, de nodige leerlingen begeleid voor wie Wiskunde vooral een grote ballenbak met allemaal regeltjes was geworden. Dan kon ik het (onnodige) herstelwerk verrichten door hen duidelijk te maken dat Wiskunde niet een set met gebruiksaanwijzingen is, maar een echt vak waar je je hoofd bij moet gebruiken.

Over dit laatste laat ik mijn nichtje Sa Xi (inmiddels wel een stukje ouder) hieronder aan het woord.

Het doet afbreuk aan ons mooie vak als het alleen bij die gereedschapskist (Kennis) zou blijven. Sterker nog: dan kunnen leerlingen volgens mij maar beter een goede typecursus gaan volgen. Daar heb je zolang het bij alleen kennis blijft tenminste iets aan!

Dit stuk is nu al wat te lang. Een volgende vrijdag meer over dit onderwerp. Misschien ben ik, gezien wat ik hierboven schreef, al toe aan axioma 2. Tot dan!

 

Euclidische Vakdidactiek (3): Begrip & Inzicht

Rekenschrift Hendrick Swaen (1694)
Rekenschrift Hendrick Swaen (1694)

10/8, 10/8, 10/8, 10/8, 10/8, dat was het rijtje cijfers dat op de lagere school regelmatig onder mijn rekenwerk stond. Een 10 kreeg ik voor het rekenen, een 8 voor netheid. En dan, na vijf van deze duo’s, de verdiende beloning: een provincie stempel van de hoofdonderwijzer, mijnheer Bours.

Een heus rekenwonder was ik, zou je kunnen zeggen. Maar, terugkijkend, zeg ik nu: ik begreep van al die sommen echt geen hout, zeker niet van de vermenigvuldigingen en delingen. Ik deed gewoon keurig en precies na wat de meester had voorgedaan en dat was kennelijk voldoende voor al die tienen.

Maar wat bedoel ik hier eigenlijk met dat begrijpen?

Begrip en Inzicht

In mijn zoektocht naar de Euclidische Vakdidactiek noemde ik de twee begrippen uit het tussenkopje al in axioma 1. Het zijn twee woorden die in het dagelijks taalgebruik veelvuldig gebruikt worden, zonder dat wij ons ooit af vragen of wij daarmee altijd wel hetzelfde bedoelen.

Vandaar dat ik er hier even kort op inga. Met het mierenneuken van sommige onderwijskundigen over dit onderwerp heb ik zelf weinig (er is echt een hele bibliotheek geschreven rond alleen al dit onderwerp, inclusief geschriften over de taxonomie van Bloom, waar ik het een vorige keer over had). Maar ook voor de vakdidacticus en de leraar in mij is het belangrijk af en toe zaken wat nader te bepalen.

Onderverdeling van Begrijpen

In de nog steeds lezenswaardige brochure Handelen om te begrijpen (Zwaneveld, van Dormolen; uitgave van NVvW uit 1977) wordt het volgende onderscheid gemaakt:

  • receptief begrijpen
  • reproductief begrijpen
  • inzicht hebben

In de brochure worden bij elk van deze drie voorbeelden gegeven.

Je begrijpt iets receptief als je de uitleg van je leraar passief kunt volgen. Het klinkt allemaal heel logisch wat hij (of zij) zegt, het een volgt noodzakelijkerwijze uit het andere, enzovoorts. Maar vraag zo’n leerling na afloop niet om de uitleg nog eens te reproduceren. Dat lukt gewoon niet. De kennis zal ook snel vervliegen, zij is nog absoluut niet verankerd.

Iets verder ben je als leerling bij het reproductief begrijpen. Je kunt dan ook al iets met de aangebrachte kennis doen: reproduceren. Op dit niveau maakte ik toentertijd mijn rekensommen: ik deed keurig na wat de leraar mij had voorgedaan. In de brochure wordt daar nog als eis aan toegevoegd dat dat begrijpen op dit niveau niet klakkeloos gebeurt, maar dan vind ik zelf de indeling alleen maar vervuilen. Het werkwoord zegt namelijk voldoende: reproduceren, of dat nu klakkeloos gebeurt of niet.

Inzicht is van dat begrijpen het hoogste niveau: wat je geleerd hebt, receptief of reproductief begrepen, daar sta je dan helemaal boven en je zou de stof, hier eenmaal aangekomen, later (dat is dan de volgende stap) ook in betrekkelijk nieuwe situaties kunnen toepassen.

Blooms taxonomie
Blooms taxonomie
Weer terug naar Bloom

En nu wij het toch weer over de taxonomie van Bloom hebben, lijkt het mij goed u te wijzen op een webstek waar een aangepaste versie van een aangepaste versie (tja, onderwijskundigen moeten toch wat …) staat: Bloom’s Digital Taxonomy. Laat u echter niet in de war brengen door dat Digital in de titel, dat lijkt mij nonsens. Alsof er voor onderwijs via digitale middelen ineens een heel andere indeling nodig is. Het is gewoon een aangepaste versie, op grond van voortschrijdend inzicht.

Blooms taxonomie aangepast
Blooms taxonomie aangepast

Wat ik prettig vind aan deze aanpassing is niet zo zeer dat er hierin geen zelfstandige naamwoorden gebruikt worden (knowledge, comprehension, …) maar werkwoorden (remembering, understanding, ..). Maar ik vind het vooral fijn dat er ook allerlei andere werkwoorden gekoppeld worden aan de hoofdcategorieën van Bloom (zie ook de figuur hieronder).

Zo wordt Bloom aktietaal, beschrijvingen in (beter) waarneembaar leerlingengedrag.

 

bloom-verbs

Dit is een blogbericht, geen wetenschappelijk artikel. Ik stop dus nu. Volgende week is het, vermoed ik, tijd voor mijn eerste stelling.

Toegift: Blooms Taxonomy According to Seinfeld

Euclidische Vakdidactiek (2): axioma 1

Euclid's_Elements_1573_EditionEuclides ontwikkelde de later naar hem vernoemde Meetkunde op een systematische manier: uit een beperkt aantal axioma’s leidde hij, gebruik makend van wat niet-gedefinieerde concepten (punt, lijn, cirkel, straal, middelpunt, ..), stellingen af, ware uitspraken.

In een poging om de lopende discussies over Vakdidactiek Wiskunde weer te laten gaan over dat waar ze over zouden moeten gaan, probeer ik die Vakdidactiek de komende weken in hetzelfde, dwingende, Euclidische harnas te proppen. Dat dat mij nooit zal gaan lukken, dat staat eigenlijk al wel vast. Dit zal dus eigenlijk meer een persoonlijke zoektocht zijn, hopelijk wel met uitkomsten waar u ook wat aan heeft.

Ik poneerde vorige week al

Axioma 1

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

en beloofde dat ik hier nog nader op in zou gaan. Dat gebeurt deze week in twee fasen: vandaag (over dat leidend), en morgen (over begrip en inzicht).

Taxonomie van Bloom

Een commissie onder leiding van Benjamin Bloom stelde al in 1956 een taxonomie van onderwijsleerdoelenvast, een hiërarchisch-geordend stelsel van niveaus van leren. Deze vormt als het ware een trap met treden in een opklimmende moeilijkheidsgraad.

Als ik mij nu even beperk tot het cognitieve domein zijn dat:

  • kennis
  • inzicht
  • toepassing
  • analyse
  • synthese
  • evaluation (in het Engels; dit begrip is wat lastiger in het Nederlands te vertalen; misschien komt ‘reflectie’ er nog het dichtst bij)

Deze taxonomie wordt binnen het onderwijs nog steeds veel gebruikt, al deed Bloom zelf de volgende uitspraak over het bijbehorende handboek:

One of the most widely cited yet least read books in American education.

NB: u ziet: dat inzicht van mij staat niet eens erg hoog op dit lijstje met nastrevenswaardige doelstellingen! Kennelijk achtte Bloom andere doelstellingen van meer waarde. Meer hierover in volgende episodes.

Leidend

Dat leidend in axioma 1 bedoel ik bijna letterlijk: de leiding nemend, vooraan. Als wij onze leerlingen wiskunde willen leren, dan zouden wij als docenten allereerst moeten kijken of de manier waarop, het materiaal waarmee, enzovoorts., wel bijdragen aan dat begrip en inzicht. Deze doelstelling hoeft door onze leerlingen overigens niet stante-pede bereikt te worden, het kan ook best op iets langere termijn en in stappen. Maar daar zouden wij wel naartoe moeten werken, vind ik!

En als wij bijvoorbeeld voor een bepaalde berekening (als het door elkaar delen van twee getallen) de keuze hebben tussen twee onderwijsmethodes, waarvan de ene niet verder gaat dan het aanbrengen van kennis en de ander begrip en inzicht bereikt is de keuze snel gemaakt, in ieder geval door mij. Maar als ik dit nu al nader zou gaan uitwerken, komen we al aardig dicht in de buurt van een heuse stelling over de traditionele versus de moderne staartdeling en dat lijkt mij nog wat te vroeg.

Morgen meer over begrip en inzicht. We gebruiken deze termen bijna dagelijks in de onderwijspraktijk, maar wat betekenen ze nu?

Euclidische Vakdidactiek Wiskunde (1): aftrap

Euclid's_Elements_1573_EditionIn mijn artikel over de #rekentoets positioneer ik mij ‘in het midden’ van de strijd tussen de twee bakkeleiende vakdidactische stromingen in Wiskundeland, die van de Realistische Wiskunde en de Traditionele.

Maar dat is natuurlijk nogal vaag. Ik neem wat afstand van deze twee heilsleren, maar waar sta ik dan zelf precies? In mijn artikel schets ik wat persoonlijke achtergronden, maar erg diep ga ik – bewust – niet in op de materie. Wel stip ik een begrip (twee begrippen, zoals u wilt)  aan wat voor mij allesbepalend zou moeten zijn voor de Vakdidactiek Wiskunde: Begrip en Inzicht.

Nu wil ik wel wat verder gaan, in een bij voorbaat al mislukte poging mijn opvattingen in een streng Euclidisch stelsel te vatten, uitgaande van een paar axioma’s van waaruit vervolgens allerlei stellingen bewezen gaan worden.

Ik sta nu aan het begin van dit avontuur en ik waarschuw u alvast: mijn zoektocht zal wel eventjes gaan duren! Ik ben van plan elke woensdag mijn stelsel uit te breiden, waarbij het onvermijdelijk is dat ik u af en toe ook wel eens op een dwaalpad mee zal voeren.

Ik weet nu zelfs nog niet eens hoeveel en welke axioma’s ik nodig zal hebben om het systeem compleet te maken. En ik wijs u zekerheidshalve nog even op de betrekkelijke relativiteit van deze axioma’s. Zij worden door mij gekozen op grond van overtuiging, kennis, ervaring, enzovoorts, maar met een andere keuze krijg je direct een ander stelsel. Door het laten vallen van Euclides parallelenpostulaat onstaat immers ook direct een andere, niet-Euclidische, Meetkunde.

Axioma 1, zoals u had kunnen verwachten:

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

Een volgende keer ga ik hier nader op in.

Reacties van u op mijn voornemen zijn overigens nu al welkom.