Verbijstering over Niet-Euclidische Meetkunde

2015 - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ik ben meer een man van de Algebra en Analyse dan van de Meetkunde, zeker als die laatste discipline de derde dimensie induikt. Maar het was toch voor mij een reusachtige eyeopener toen bleek dat als je die Meetkunde maar wat anders definieert, je ineens ook heel andere meetkundige eigenschappen krijgt.

Zo had ik op school netjes geleerd dat de som van de hoeken van een driehoek altijd 180° is. En dat bleek, eenmaal op de universiteit aanbeland, helemaal niet te kloppen! Die som kon ook meer, of juist minder, dan die 180° zijn als je een van Euclides vijf postulaten maar liet vallen.

De Wiskunde was ineens niet zo dichtgetimmerd meer voor mij. Het werd een wereld die je zelf, met je eigen gedachten, kon construeren, niet louter de wereld van wijze leraren.

Hier vindt u wat meer over deze Niet- Euclidische Meetkunde

Euclidische vakdidactiek (13): afsluiting reeks

2014 - 1Op 20 november 2013 begon ik deze reeks Euclidische vakdidactiek. Deze was vooral bedoeld als een persoonlijke zoektocht naar waar het in mijn eigen wiskundeonderwijs om zou moeten gaan. Ik koos daar een bepaalde vorm voor, maar ontdekte al vrij snel dat er niet allerlei axioma’s en stellingen nodig waren om mijn visie vast te kunnen leggen. Met mijn axioma’s 1 en 2 kom je al bijna overal.

Ik gebruikte regelmatig de Taxonomie van Bloom als kapstok om mijn gedachten te ordenen, maar heb hier eigenlijk alleen de eerste twee treden van gebruikt: Kennis (Comprehension) en Begrip & Inzicht (Understanding), waarbij deze laatste trede nog door mij in drieën werd opgesplitst.

Toepassing

De volgende trede, Toepassing (Application), kwam slechts impliciet aan de orde, toen ik het over de rol van contexten binnen het wiskundeonderwijs had. Daarbij ontdekte ik dat ik die toepassingen niet, zoals Bloom, zie als een hogere trede op de ladder, voor mij zijn die toepassingen vooral een didactisch middel om tot dat Begrip & Inzicht te komen, dus eigenlijk geen aparte trede waard.

De drie andere, nog hogere, treden, Analyse, Synthese en ‘Evaluation’, liet ik in deze serie helemaal achterwege. Voor mij zijn deze voor het voortgezet onderwijs gewoon te hoog gegrepen, ik blijf liever met beide benen op de grond en in de lespraktijk staan. Het kan overigens nooit kwaad deze hogere doelstellingen als docent wel in het achterhoofd te hebben. Ik ben echter al dik tevreden als ik mijn leerlingen tot dat Begrip & Inzicht kan brengen en realiseer mij bovendien dat dit niet bij iedere leerling zal lukken.

Positie in discussie

Ik begon mijn serie, omdat ik mijn positie in de discussies over de rekentoets (‘in het midden, tussen beide didactisch stromingen in’) nader wilde bepalen. Deze positie heeft namelijk niet alleen betrekking op die rekentoets, maar op de vakdidactische strijd die , helaas, al jaren de ontwikkeling van ons wiskundeonderwijs lam legt.

Ik ben deze strijd echt spuugzat, net als velen met mij. Ik heb er meer dan genoeg van dat het al lang niet meer gaat om de vakdidactiek, maar om een strijd om gelijk te krijgen. Ik roep de hardcore aanhangers van het Traditionalistische wiskundeonderwijs op om nu eindelijk eens te gaan zorgen voor concretisering van het, ook door mij gewenste, tegengas. Waar blijven hun leerplannen, hun toetsen, hun leerboeken? Of blijft het bij al te gemakkelijk geklaag en geschamper in de marge? De hardcore aanhangers van het Realistisch wiskundeonderwijs roep ik op om uit hun ivoren torens te komen en met anderen, ook andersdenkenden, in dialoog te gaan. Dan kunnen wij eindelijk weer eens verder en kan inspiratie weer de plaats innemen van het gevecht om het gelijk.

De handigste toegang tot alle afleveringen van deze serie krijgt u door in Google te zoeken op Euclidische vakdidactiek.  U kunt eventueel ook naar mijn Facebookpagina.

Naschrift

Pauline Vos, hoogleraar wiskundedidactiek in Kristiansand, Noorwegen, schreef mij per mail nog onderstaande interessante aanvulling. Mogelijkerwijs kom ik daar in een vervolg op deze serie nog op terug.

Die taxonomie van Bloom:

– analyseren, synthese en evalueren

– dat doe je als wiskundeleraar met de klas juist heel vaak!

Bijvoorbeeld in de klas 2/3, bij eerste graads vergelijkingen, klassegesprek over: welke manier vind je handiger: de bordjes-methode of de balansmethode? weet iemand nog een andere manier en hoe zullen we die noemen?

Bijvoorbeeld in 4/5-havo/vwo, klassegesprek over: waarom werkt de abc-formule? Als je a=0 invult voor de abc-formule, kun je meteen alle eerstegraads vergelijkingen oplossen?

Onderliggend punt is, dat je de Taxonomie van Bloom op twee manieren kunt gebruiken: voor het Denken (zeg maar: het werk dat een wiskundig onderzoeker doet) en voor Leeractiviteiten (werkvormen in de klas). Als je de taxonomie alleen op de eerste manier gebruikt, dan kom je in het middelbaar onderwijs niet snel op de hogere Bloom niveaus. Maar als je de Bloom niveaus gebruikt in termen van Leeractiviteiten, dan werken alle niveaus, zelfs op Basisschool niveau en kan een (goede!) docent ze inzetten om leerlingen tot ‘begrijpen’ (Bloom niveau 2) te laten komen.

Voor als je het wilt opzoeken: het onderscheid van de Taxonomie van Bloom naar twee dimensies, nl denken en leeractiviteiten, is bedacht door Andersen en Krathwohl. Zij hebben het over de knowledge dimension en de cognitive activities.

Euclidische Vakdidactiek (12): toetsing van Begrip & Inzicht III, de zwakke broeders

tekenoverzicht

 

 

 

U kent hem (of haar) allemaal: een leerling die doorgaans braaf zijn huiswerk maakt, die een vergelijking kan oplossen precies zoals u die het op het bord heeft voorgedaan (reproductief begrijpen), maar die het toch nooit lukt om echt boven de stof te gaan staan. Het inzicht breekt niet door.

Als u hem een functievoorschrift geeft, kan hij die functie best differentiëren. Ook het tekenschema van f’ kan hij maken en dan weet hij dat als daarin het teken van +, via 0, naar – gaat er sprake is van een maximum.

Regels

Dat onder deze regel nog een hele wiskundewereld zit, daar heeft u in uw onderwijs uiteraard aandacht aan geschonken: helling van een grafiek in een punt, stijgen, dalen, Δx, Δy, limieten. … . U mikt immers op inzicht. U heeft hem ook tal van praktische toepassingen voorgeschoteld, uit de natuurkunde, uit de economie, uit … . Maar voor hem blijft het: in tekenschema  f‘ van  + via 0 naar -, dan een maximum. Het blijft bij de regel.

U wordt er bijna wanhopig van! U probeert het nog eens, op een andere manier. En dan nog eens en dan nog eens. U spreekt echt uw hele didactisch repertoire aan, maar het werkelijke inzicht blijft bij deze leerling uit.

Een zes

Dan komt er een moment dat u het toch maar beter kunt opgeven, meer zit er bij deze leerling gewoon niet in. Inzicht kun je er immers niet inhameren. Maar wat nu? Welk cijfer verdient deze leerling straks op zijn proefwerk, op zijn eindexamen? Al eerder schreef ik over zo’n leerling:

Blijft nog, onder andere, deze vraag over voor 2014: wat te doen met die leerlingen bij wie het, ook na eindeloos proberen, niet lukt om tot dat (in ieder geval door mij) verlangde niveau van inzicht te komen? Ontneem je hun zo niet dat gevoel van tevredenheid, voldoening, de yes!-factor, om een al lang bekend pad (bv: het kunnen oplossen van een eerstegraads vergelijking) toch correct bewandeld te hebben?

Ik denk dat deze leerling een zes verdient, voor zijn inzet en voor dat wat hij aan kennis heeft opgedaan. Hij zal vermoedelijk niet veel verder meer komen in de wiskunde, maar zijn ijver dient volgens mij beloond, samen met dat wat hij wél weet.

Psychologie boven rechtlijnigheid

Dit voelt voor mijzelf wel wat onlogisch aan: als je in je onderwijs op inzicht mikt, dan zou dat inzicht ook getoetst moeten worden. Is dat inzicht er niet of niet voldoende, dan zou een leerling dus een onvoldoende moeten scoren.

In dit geval laat ik de psychologie dan maar zwaarder wegen dan rechtlijnigheid. Ik vind dat ook geen ramp. Per slot van rekening was mijn onderwijs wél op dat inzicht gericht, ik heb niet bij voorbaat al de handdoek in de ring gegooid en de wiskunde gepresenteerd als een tombola van regels en zo een fout beeld van ons mooie vak gegeven.

 

Euclidische vakdidactiek (11): toetsing van Begrip & Inzicht II

6a00d8341bfda053ef00e5539b8bf08834Het aardige van wiskunde als schoolvak is gelegen in het feit dat alles wat je daar leert samenhangt met alles wat je al eerder geleerd hebt én met alles wat je nog gaat leren. Om het wat wiskundiger uit te drukken: de graaf van de schoolwiskunde bestaat niet uit losse punten, maar alle punten in die graaf zijn met elkaar verbonden.

Het heeft weinig zin om wiskunde te onderwijzen als een verzameling losse regels. Misschien dat die strategie werkt voor een vak als Scheikunde (LiBeBCNOFNe NaMgAlSiPSClAr), voor wiskunde is het juist zaak om van die verbondenheid didactisch gebruik te maken. Zo’n benadering doet tevens recht aan wiskunde als wetenschappelijke discipline.

Dubbel product

Als uw leerlingen na veel oefenen nog steeds denken dat (ab)² = a² + b² heeft het geen enkele zin om hun dan nóg meer rijtjessommen voor te leggen. Er moeten juist verbanden gelegd (dat had eigenlijk al veel eerder moeten gebeuren), waardoor geleidelijk aan begrip & inzicht ontstaat: verbanden met variabelen en substitueren (vul maar eens getallen in voor a en b), met de distributieve eigenschap, met meetkundige voorstellingen (zie afbeelding hierboven), met (vooruitblik) wandelingen in een rooster, driehoek van Pascal, binomium van Newton, enzovoorts.

Blijft het bij het uit het hoofd leren van de regel en oefenen, dan wordt er misschien nog wel gescoord op een volgend proefwerk, maar daarna is uw leerling gegarandeerd alles weer kwijt. Zonde van de tijd, inefficiënt dus, en een belediging voor ons mooie vak.

Verankering, reconstructie

Door verankering met wat al geleerd is én met dat wat nog komen gaat beklijft het geleerde bij uw leerling. Oefening blijft zeer zeker nodig, maar dan niet van een weetje, maar van ware, dus begrepen, kennis.

Het zou overigens best eens kunnen voorkomen dat een leerling dat dubbele product in de toekomst tijdelijk even kwijt is. Maar door al die dwarsverbanden kan deze kennis dan weer snel gereconstrueerd worden. Met weetjes lukt dat niet, daar zijn spiekbriefjes voor nodig.

Toetsen

Ik schreef het al: door deze samenhang expliciet te maken ontstaat geleidelijk aan begrip & inzicht. Daarop zouden we ons in ons onderwijs moeten richten, zie mijn axioma’s 1 en 2. Het zal overigens zeker niet lukken om bij elke leerling te komen tot dat gewenste begrip & inzicht. Een volgende keer kom ik terug op de vraag wat met deze categorie leerlingen te doen. Maar begrip & inzicht zou volgens mij wel hoofddoel van ons wiskundeonderwijs moeten zijn.

Het ligt voor de hand om, gegeven het doel, dan ook te gaan toetsen op begrip & inzicht. Dat toetsen gebeurt natuurlijk niet alleen op het centrale examen, waar ik het een vorige keer over had. In Nederland is het gelukkig zo dat docent, sectie en school bepalen wat (binnen bepaalde wettelijke kaders), hoe vaak, hoe, … getoetst wordt.

Vooral dat ‘hoe’ biedt vele mogelijkheden, die in de onderwijspraktijk zeker niet allemaal benut worden. Dat begrijp ik ook wel: anders toetsen (werkstukken of praktische opdrachten, profielwerkstukken, vrije opdrachten, …) kost veel meer begeleidings- en beoordelingstijd dan een standaard schriftelijke toets. Maar toch … .

Cliffhanger

Blogberichten moeten kort zijn, anders leest u ze niet. Ik kom dan ook nog niet toe aan het beantwoorden van de cliffhanger van de vorige keer. Gelukkig gaat Erik Korthof daar, via een reactie, wél op in. Voor mijn eigen bijdrage zult u tot volgende week moeten wachten.

 

 

 

Euclidische vakdidactiek (10): toetsing van Begrip & Inzicht I

Iedere weldenkende wiskundedocent(e) zal zich in zijn/haar onderwijs richten op Begrip & Inzicht, in overeenstemming met mijn eigen axioma 1 en axioma 2. Doet hij/zij dat niet en blijft het bij de bekende trucendoos vol onbegrepen regels, dan verloochent hij/zij zijn/haar eigen vak, vind ik.

cool_jobs_math_numberhat_benjamin_01Regels, procedures, algoritmes, … deze vormen de gereedschapskist van de wiskunde: noodzakelijk, maar niet voldoende. Deze vergelijking heb ik al eens eerder gemaakt.

Het spreekt dan ook voor zich dat er dan in toetsen (onlosmakelijk onderdeel van het onderwijsleerproces) niet alleen op kennis getoetst zou moeten worden, maar ook op Begrip & Inzicht.

De classificaties die ik hierboven noem ontleen ik aan de Taxonomie van Bloom. Omdat het al weer even geleden is dat ik hier aandacht aan besteedde hierbij even een herhaling, met behulp van een filmpje.

Let in dit filmpje vooral op de onderverdeling die gemaakt wordt tussen:

  • receptief begrijpen
  • reproductief begrijpen
  • hebben van inzicht

Voor wie meer wil weten, hier staan de eerste vier delen van deze reeks Euclidische Vakdidactiek:

Probleem

Dan zitten wij voor wat betreft dat toetsen van Begrip & Inzicht wel met een probleem. Als ik bijvoorbeeld naar het Centraal Examen Wiskunde B 2013 kijk, is daarop met wat moeite wel een voldoende te scoren, ook al heb je geen inzicht. Als je de relevante regels (voor het oplossen van – al dan niet goniometrische – vergelijkingen, differentiëren, integreren, …) kunt gebruiken is die 6 eigenlijk al binnen.

Vraag: is dat erg?

Met deze cliffhanger sluit ik nu, er moet gestemd. Volgende week woensdag meer!

Euclidische vakdidactiek (9): toetsing

Fokke & Sukke
Fokke & Sukke

Toetsen, in welke vorm dan ook, horen bij elk onderwijsleerproces, ze zijn onlosmakelijk daarmee verbonden. Je kunt niet zeggen: toetsing, daar doe ik maar niet aan, net als je niet kunt zeggen: laat die verwerkingsopgaven maar weg. Je wilt, als leerling, docent, samenleving, namelijk altijd weten hoe succesvol dat onderwijsleerproces (vergeef me het dure woord) is verlopen.

Toetsen kunnen zowel formatief als summatief zijn.

Minuscuul deel centraal

In Nederland wordt een minuscuul deel van de toetsen in het vo verplicht en centraal afgenomen, in de vorm van een Centraal Examen. In alle daaraan voorafgaande vier (vmbo) tot zes jaren (vwo) is er helemaal niets centraal geregeld. Dat Centraal Examen (CE) is overigens niet eens het volledige eindexamen, het Schoolexamen is daar het tweede, gelijkwaardige, onderdeel van.

Over alle toetsen, behalve dat CE, hebben docenten en scholen volledige zeggenschap, over aantal, vorm en organisatie. En ook deels over de inhoud, zij het dan dat de eindtermen van het onderwijs wettelijk vast zijn gesteld.

Clichés

Ik heb dan ook nooit wat begrepen van termen als toetsterreur, teaching to the test, toetsbatterij, die om de haverklap, als ware clichés, opduiken in tweets en stukken over het onderwerp Toetsing in Nederland. Let op: ik beperk mij hier tot het vo, over andere schooltypes doe ik geen uitspraken. Toetsing is hier zo weinig van bovenaf (‘Den Haag’, vroeger ‘Zoetermeer’) geregisseerd dat er meer dan voldoende ruimte is voor eigen keuzes. Als er te veel getoetst wordt naar uw zin, dan moet u bij uw eigen schoolleiding zijn, niet bij de minister of in ‘Arnhem’.

Andere toetsvormen

Sinds de invoering van Tweede Fase zijn er ook nog eens allerlei andere toetsvormen mogelijk dan schriftelijke toetsen. Denk aan zaken als profielwerkstukken, praktijkopdrachten. Maar er is, binnen de kaders van de wet, nog wel meer mogelijk. Alle ruimte dus voor eigen initiatieven.

Werkdruk?

Waar ik wel wat begrip voor op kan brengen zijn de klachten over de te grote werkdruk die docenten momenteel ervaren, ook al weet ik niet helemaal zeker of deze terecht zijn. Maar die druk heeft in ieder geval weinig te maken met dat Centraal Examen (wel piekdruk?) of met toetsen in het algemeen. Er zijn immers zo veel of zo weinig toetsen als een docent of school dat wil.

Lekker gerelaxed nakijken

Het is al weer een tijdje geleden (2010) dat ik zelf voor een volle klas met puberende kinderen stond, maar aan vorm en organisatie van dat Centraal Examen (toen CSE genoemd, met de S van schriftelijk) is sindsdien niet zo heel veel veranderd. Ik herinner me die examentijd vooral als een (relatief) relaxte tijd: een flink deel van de lessen gaf ik niet meer (ook geen voorbereiding en nakijkwerk) en ik kon rustig thuis, met de ramen wijd open, lekker eindexamens gaan nakijken, leuk klusje. Kopje koffie erbij, nog geen zorgen voor het komende schooljaar, dat was nog veel te ver weg. Tweede correctie vond ik nooit leuk, maar je kunt van je beroep natuurlijk niet verwachten dat dit je het Totale Geluk op Aarde zal brengen. Ik heb er, na een botsing met een tweede corrector in mijn begintijd, veel van geleerd en ben nog objectiever gaan nakijken.

Dat die werkdruk is toegenomen (in ieder geval volgens docenten) moet met andere zaken te maken hebben, niet met toetsing.

We kunnen ons dus gaan richten op een interessantere vraag: hoe toets je Begrip en Inzicht? Want daar zou het volgens mij om moeten draaien in het onderwijs: zie de eerste delen van deze reeks. Hierover een volgende keer meer.

Euclidische vakdidactiek (8): contexten

karsteN_maChteN_3Ik schreef het al eerder, in een bijzinnetje: het al dan niet gebruiken van contexten binnen het wiskundeonderwijs is voor mij een keuze van secundair belang. Primair is de vraag of dat gebruik bijdraagt aan begrip en inzicht (mijn axioma 1). Doen die contexten dat: gebruiken. Doen ze dat niet: niet gebruiken.

Wiswijs

In ons boek Wiswijs hanteren wij die lijn dan ook. Bij het introduceren van machten met gebroken of negatieve exponenten blijkt bijvoorbeeld een context over rentes, of iets soortgelijks, bij leerlingen beter aan te slaan dan via het domweg, zonder context, definiëren van dergelijke machten. Ik gebruik het werkwoord ‘aanslaan’ hier overigens niet voor niets, voor het bereiken van begrip en inzicht is motivatie uiteraard van belang.

A of B

Ik heb de introductie van Wiskunde A in het vwo, begin tachtiger jaren, als een bevrijding ervaren, niet zo zeer voor mijzelf, als wel voor mijn leerlingen, toentertijd die van de Knorringa Avondscholengemeenschap in Amsterdam. Niet alleen was er ineens een keuzemogelijkheid (A of B) voor leerlingen die geen enkele aspiratie hadden om door te stromen richting het harde bèta, maar bijvoorbeeld psychologie wilden gaan studeren. Bovendien kwam er een antwoord op hun vraag, de eeuwige vraag van leerlingen: Waar is dit nu allemaal voor nodig?

Maar de contexten die bij A gebruikt werden verrijkten tegelijk ook mijn eigen didactisch repertoire: er was ineens veel meer mogelijk.

Realistisch

Het woord context wordt binnen het Nederlandse wiskundeonderwijs vaak gebruikt in combinatie met het woord realistisch. Maar dat vind ik niet zo’n gelukkige combinatie, zeker als je ‘realistisch’ vertaald met ‘aan de praktijk ontleend’. Contexten kunnen immers ook ontleend worden aan de wiskunde zelf.

Versimpeling

Het is helemaal niet zo gemakkelijk om te werken met echte, authentieke, realistische contexten. De praktijk is daar namelijk meestal te ingewikkeld voor, dus wordt de werkelijkheid bij gebruik vaak versimpeld. Contexten in methodes en in eindexamens hebben dan ook regelmatig iets gekunstelds.

Ik zie daar zelf niet zo heel veel kwaad in mits leerlingen zich maar iets bij zo’n context kunnen voorstellen. Per slot van rekening is een van de wezenskenmerken van het vak wiskunde de abstractie, wiskunde opgetild uit de (pseudo)werkelijkheid. Er is in die opgaven vooral klare taal nodig, ontdaan van overbodige elementen en overbodige figuren.

Tot slot formuleer ik nog even de eerste alinea als een stelling:

Als contexten leiden tot een beter begrip en inzicht, dan inzetten. Anders: niet doen

Ik moet zelf nog wel even over deze stelling nadenken, al lijkt deze een rechtstreekse consequentie van mijn axioma 1. Ik kom hier zeker nog op terug in een volgende aflevering.

Euclidische vakdidactiek (7): nogmaals oefenen

9200000002271570Mijn vorige blogbericht in deze serie leidde tot aardig wat reacties, op de pagina zelf of per mail. Daar was ik blij mee.

Ik kom nu nog heel even terug op het onderwerp: oefenen. Of preciezer uitgedrukt: op oefenen en begrijpen. Ik herhaal echter eerst nog even twee axioma’s uit mijn serie

Axioma 1

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

 

Axioma 2

Kennis zonder de daarop volgende stappen naar inzicht is voor het voortgezet en hoger onderwijs van nul en generlei waarde. Dat geldt in ieder geval voor het vak Wiskunde.

 

Oefenen of begrijpen

Een van die reacties kwam van Jo Nelissen van het FISME. Hij attendeerde mij op een publicatie van zijn hand, met als titel Oefenen of begrijpen, dat weer een reactie was op een eerder artikel van Verhoef, in het Tijdschrift voor Orthopedagogiek (49 , 2010, 63-67). Volgt u het nog?

Omdat er wel parallellen te trekken zijn tussen Jo’s zienswijze op het onderwerp en die van mij, voeg ik hier een link naar dat artikel toe. Zo gebruikt Jo de term ontplofte confettifabriek voor wat ik Thomas zijn lottoballenbak noemde. Wel merk ik op dat Jo het vooral over rekenen in het basisonderwijs heeft, terwijl ik mijn serie schrijf met vooral wiskunde in het VO in mijn hoofd.

Contexten

In de mailreacties van Jan van de Craats had hij het over de rol van contexten bij het oefenen. Over die contexten heb ik het zelf in deze serie echter nog nooit gehad en dat heeft een reden. De keuze al dan niet contexten gebruiken is voor mij namelijk secundair. Ik kom hier in volgende afleveringen vast op terug.

Maar eerst ga ik mij de komende week buigen over de vraag of ik een Axioma 3 nodig heb of dat ik aan een eerste Stelling toe ben. Mijn streven, dat overigens bij voorbaat tot mislukken gedoemd is, was namelijk een sluitend stelsel te ontwerpen, zoals Euclides dat ooit voor de Meetkunde deed.

 

Euclidische Vakdidactiek (6): oefenen

oefening-baart-kunstDit is mijn eerste bericht van deze serie in 2014. Voor wie de serie niet vanaf het begin gevolgd heeft, hier staat een kort overzichtje.

Oefening baart zowel kunst als kunstjes. Geen zinnig mens, van welke (wiskunde)didactische overtuiging dan ook, zal ooit beweren dat je wiskunde kunt leren zonder oefening. Maar wanneer heeft het zin om te gaan oefenen?

Laat ik eerst, vooruitlopend op wat gaat komen, een onderscheid maken tussen leerstof waar echt helemaal niets aan te begrijpen valt, waar geen inzicht voor nodig is, en andere leerstof. Dat het symbool < in de wiskunde ‘is kleiner dan’ betekent, daar valt gewoon niets aan te begrijpen, dat zul je gewoon uit je hoofd moeten leren, al dan niet geholpen door een ezelsbruggetje. Het is een afspraak, die net zo goed anders had kunnen zijn.

Lotto-bal-23Lottoballen

Gelukkig is er in ons vak maar heel weinig dat je uit je hoofd moet leren, achter verreweg de meeste wiskundige begrippen zit namelijk … begrip. Natuurlijk, je kúnt het vak opvatten als een grote bak met lottoballen, waar je op goed geluk maar wat regels uit pakt, zoals mijn eigen privéleerling Tomas dat deed. Maar vroeg of laat loop je dan vast.

Op die manier geleerd worden het op den duur gewoon veel te veel regels, je gaat ze door elkaar halen.

a1mNzFzfQacmjWfVz-fS4jl72eJkfbmt4t8yenImKBVvK0kTmF0xjctABnaLJIm9Wezenskenmerk wiskunde

Maar erger: zo’n aanpak ontkent een van de wezenskenmerken van ons mooie vak, namelijk dat het te begrijpen valt. Deze aanpak belemmert ook stappen voorwaarts, gegeven het feit dat nieuwe wiskundige theorie altijd voortbouwt op al bestaande. Ja, je kunt een eerstegraads vergelijking volstrekt zonder begrip, als een kunstje, oplossen (naar links/rechts brengen; wegstrepen; ..), maar hoe pak je dan al die andere vergelijkingen aan?

Oefenen van onbegrijpelijke begrippen

Voor de weinige zaken die je echt uit je hoofd moet leren geldt dat je al in een vroeg stadium kunt gaan oefenen. Op enig begrip hoef je in deze gevallen namelijk niet te gaan zitten wachten: dat zal toch nooit komen. Dus, bijvoorbeeld: twee kolommen met in de linkerkolom en in de rechterkolom getallen en dan als opdracht: ‘Plaats het juiste ongelijkheidsteken.’

Oefenen van begrijpelijke begrippen

Op de lagere school haalde ik altijd tienen voor rekenen. Op het gymnasium werden dat, voor wiskunde, achten, maar gelukkig bleef ik de beste van de klas voor dat vak. Maar toch: ik begreep niet echt wat ik deed. Ik maakte mijn huiswerk, mijn proefwerken, maar ik had geen inzicht.

p_aufg1Dat laatste kwam genadeloos aan het licht toen, in de vijfde, het vak Stereometrie (zeg maar: 3D Meetkunde) werd geïntroduceerd. Bij de allereerste vraag in het boek liep ik al vast, ik begreep de vraagstelling niet eens, die was zo anders dan bij Algebra en Analyse, je had echt inzicht nodig. Mijn klasgenoot Henk R. begreep het wel onmiddellijk en streefde mij in dat vak dan ook direct voorbij.

Het is later, vlak voor het eindexamen, tot mijn opluchting allemaal toch nog ‘goed’ gekomen tussen mij en Stereometrie, doordat ik ontdekte dat veel examenvraagstukken toch neerkwamen op toepassing van die ene regel: je hebt bewezen dat een lijn loodrecht op een vlak staat als je kunt aantonen dat deze loodrecht op twee lijnen in dat vlak staan. Dat lukte mij, toch weer die acht. Maar wel zonder inzicht.

Dat inzicht kwam bij mij pas veel later, op de universiteit, toen het onderwijs daar ook op gericht was. Of misschien nog wel wat later: toen ik zelf wiskundeles ging geven en een wiskundeboek schreef.

Kletskoek(en)

Een van de voormannen van de Traditionalisten, Jan van de Craats, ontkracht, naar eigen zeggen, in zijn geruchtmakende pamflet Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen, een mythe uit het (realistische) rekenonderwijs: Eerst begrijpen, dan pas oefenen. Hij doet deze uitspraak over het rekenonderwijs op de basisschool, maar hij trekt dit in latere publicaties door naar het wiskundeonderwijs. Hij noemt deze mythe kletskoek en stelt zelfs dat het tegenovergestelde geldt: “Juist tijdens het oefenen ontstaat geleidelijk steeds meer begrip.”

Ik noem, op mijn beurt, juist Jan’s uitspraak kletskoek, al was het alleen maar op grond van mijn eigen ervaringen, als leerling én als leraar. Ik begrijp ook niet goed hoe een Hoogleraar in de wiskunde, die bovendien zelf heel aardige Zebraboekjes heeft geschreven, waarin hij juist mikt op dat inzicht, zo’n uitspraak kan doen. Alsof begrip vanzelf komt als je maar lang genoeg oefent.

Nee, Jan, voor begrip en inzicht is een docent nodig die zich in zijn of haar uitleg juist expliciet daarop richt. Doe je dat als docent niet, dan zal dat inzicht ook nooit, als een soort deus ex machina, over je leerlingen neerdalen, hoeveel sommen je die ook laat maken.

Ik had zelf twee goede wiskundedocenten op school. Maar met de kennis van nu zeg ik toch: als zij zich toen meer op dat inzicht hadden gericht, had er wat wiskunde betreft misschien nog wel wat meer voor mij ingezeten, was ik zelf Hoogleraar geworden.

Didactische kampen

Voor mij is een complicerende factor in Jans betoog dat hij zich met zijn de-mythologisering tegelijk ook afkeert van de didactiek van de Realistische Wiskunde. Dat doe ik niet. Maar ik ben zeker ook geen echte fan van die laatste stroming (de nadruk die gelegd wordt op ‘realistische’ contexten vind ik bijvoorbeeld onterecht). Ik blijf in het midden van de twee rivaliserende kampen staan, zoals ik in mijn artikel over de rekentoets al schreef.

En nogmaals: oefenen

Begrip en inzicht is namelijk inhaerent aan ons vak!

Oefenen hoort bij alle leren, dus ook bij het leren van wiskunde. Maar oefenen is vooral bedoeld om iets wat je begrepen hebt te verankeren, een stevige basis te leggen voor volgende stappen. Natuurlijk is er, ook in mijn opvatting, sprake van een groeiproces: je kunt best aan het oefenen gaan als je iets nog niet helemaal 100% begrijpt. Maar oefenen en denken dat het met begrip en inzicht dan wel automatisch goed komt, dat is van een naïviteit die ik niet van een Hoogleraar had verwacht.


 Naschrift

Buiten uw zicht is er op grond van bovenstaand blogbericht een korte, aardige – want inhoudelijke en respectvolle – e-maildiscussie geweest met Jan van de Craats. Dat was natuurlijk ook wel te verwachten als je van iemand zegt dat deze kletskoek verkoopt ;-). Die term ontleende ik overigens aan Jans eigen pamflet.

In die discussie heb ik overigens geen aanleiding gezien bovenstaand bericht aan te passen. Ik voeg nog wel toe dat ik Jans opvattingen over de didactiek van het wiskundeonderwijs in het VO vooral ken via zijn Basisboek Wiskunde.

Jans pamflet gaat echter vooral over het rekenonderwijs in het basisonderwijs en in dat debat stel ik mij zelf terughoudend op, om de doodeenvoudige reden dat ik dat onderwijs niet van binnenuit ken. Zodra rekenen het VO binnenkomt steek ik wel mijn vingertje op, omdat ik daar wél wat vanaf weet, of in ieder geval denk te weten. Zie mijn eigen artikel over de rekentoets.

Tegengas

Ik denk dat het goed was dat Jan ooit gezorgd heeft voor wat tegengas, omdat het wiskundeonderwijs in de loop der jaren te veel een monocultuur is geworden, met eigenlijk maar één, dominante, didactische stroming, die van de Realistische Wiskunde.

Wij

Maar ik denk ook dat het nu hoogste tijd wordt voor een tweede pamflet van Jan: Hoe wij ervoor gaan zorgen dat Daan en Sanne beter gaan rekenen. In deze titel leg ik zelf de klemtoon op dat ‘wij’.

Omdat Jan zich via e-mail tot mij persoonlijk richtte en, naar eigen zeggen, doelbewust geen reactie in het openbaar gaf, zal ik onze mailcorrespondentie hier niet publiceren.

Euclidische Vakdidactiek (5): axioma 2

Even een herhaling, met behulp van een filmpje. Voor wie meer wil weten, hier staan de vorige vier delen van de reeks Euclidische Vakdidactiek:

De taxonomie van Bloom gaat uit van een hiërarchische ordening: zo is kennis (knowledge) bijvoorbeeld nodig voor begrip en inzicht (comprehension). Kennis is een noodzakelijke maar niet-voldoende voorwaarde voor begrip en inzicht. Dat bracht ik zelf al tot uitdrukking in mijn axioma 1:

Begrip en inzicht moeten de leidende factoren zijn bij het maken van vakdidactische keuzen.

In aflevering drie werd Bloom’s trede comprehension door mij, in navolging van van Dormolen en Zwaneveld, nog opgesplitst in:

  • receptief begrijpen
  • reproductief begrijpen
  • hebben van inzicht

Ik ben nu toe aan axioma 2

Kennis zonder de daarop volgende stappen naar inzicht is voor het voortgezet en hoger onderwijs van nul en generlei waarde. Dat geldt in ieder geval voor het vak Wiskunde.

Ik heb mij er altijd hogelijk over verbaasd als het streven naar inzicht door vertegenwoordigers van de Realistische Wiskunde werd geclaimd als hun exclusief bezit: de andere didactische stroming, die ik bij gebrek aan een beter alternatief maar de Traditionele noem, zou daar niet naar streven.

Nu wordt het hun in deze ook wel erg gemakkelijk gemaakt door sommige vertegenwoordigers van die Traditionele School, doordat deze zo de nadruk leggen op automatiseren, vaste procedures, oefenen, oefenen, oefenen.

Inzicht hoort bij Wiskunde

Maar inzicht is toch inhaerent aan het vak Wiskunde? Wat heeft het bijvoorbeeld voor zin om een eerstegraads vergelijking op te kunnen lossen, zonder inzicht in de wiskundige concepten die onder dat oplossen van een vergelijking liggen? Dat oplossen kan computeralgebrasoftware immers ook. Maar iemand moet dan toch inzicht blijven houden in hoe het onder die motorkap werkt, al was het alleen maar om deze software verder te kunnen ontwikkelen.

Inzicht is ook nodig voor de onderzoekstak van ons vak. Of dacht u nu echt dat onderzoekers, die uiteraard steeds verder willen komen, het kunnen laten bij de al lang bekende procedures? Dan kunnen zij wel stoppen met dat onderzoek en bevestigen zo het beeld van de buitenwereld: wiskunde = af en wiskunde = sommen maken.

2014

Blijft nog, onder andere, deze vraag over voor 2014: wat te doen met die leerlingen bij wie het, ook na eindeloos proberen, niet lukt om tot dat (in ieder geval door mij) verlangde niveau van inzicht te komen? Ontneem je hun zo niet dat gevoel van tevredenheid, voldoening, de yes!-factor, om een al lang bekend pad (bv: het kunnen oplossen van een eerstegraads vergelijking) toch correct bewandeld te hebben?

Deze en andere vragen komen in 2014 aan de orde. Ik wens u nu goede Kerstdagen en een mooi 2014!