Infinity, de Wiskunde achter …

Infinity I: van Hier naar Oneindig

“Ik houd oneindig veel van je.”

“Wat voor soort oneindig bedoel je eigenlijk, schat? Aftelbaar oneindig of overaftelbaar?”

Het zal u wel duidelijk zijn wat de achtergrond van de tweede spreker vermoedelijk is.

Oneindig is een woord dat vaak in het spraakgebruik opduikt zonder dat de gebruiker ervan weet wat hij of zij nu eigenlijk zegt (of zingt). “Het heelal is oneindig groot.” en “Moleculen zijn oneindig klein.” zijn uitspraken waarin dat oneindig staat voor onvoorstelbaar. Ik denk dat ook het Nederlands-Vlaamse zangduo uit de video hierboven, Sasha & Davy, het begrip in deze zin gebruikt, al heb ik geen informatie over hun wiskundeachtergrond kunnen achterhalen. Mensen hebben oneindig veel moeite met grote aantallen en zodra het hen wat te groot wordt wordt het woord oneindig (Engels: Infinity) maar van stal gehaald.

Goddelijk

Filosofen hebben zich door de jaren heen wel met het begrip oneindig bezig gehouden. En binnen wat ik maar de zweefsector noem wordt vaak het verband met het goddelijke gelegd. Volgens mij is dit slechts het verschuiven van het probleem.

Het is eigenlijk pas vrij recent dat wiskundigen zich op de precieze betekenis van dat oneindig hebben gestort. Een naam die in dit verband als eerste moet worden genoemd is die van Georg (Ferdinand Ludwig Philipp) Cantor (1845- 1918). In de tweede helft van zijn leven werd deze geplaagd door depressies en paranoia en de mythe wil dat dat veroorzaakt werd door al dat gepieker over oneindig.

Serie over oneindig

De komende drie weken zal ik op mijn weblog zo’n drie keer per week een berichtje achterlaten over het wiskundige begrip oneindig en ook over deze Cantor. Deze serie dient als opmaat voor het aan land brengen van de nieuwe vangst van TastyMaths™: de Infinity (en de Choco-pi), voorzien voor 23 september 2014, het begin van de astronomische herfst.

Ik ga de komende weken dus met u Van Hier naar Oneindig.

Het jaloersmakende plaatje in de kop is overigens van de Infinity Pool in Singapore.


Infinity II: Blik op Oneindig

Geert WildersMeer, minder of evenveel?

Zijn er meer mensen op aarde dan er mobiele telefoonabonnementen zijn? Deze vraag is in principe goed te beantwoorden (antwoord: nu nog wel, vanaf 2015 vermoedelijk niet meer). Is er minder voedsel op aarde dan er monden om te voeden zijn? Dat is al een wat lastiger vraag, maar dat heeft vooral met de definities van de begrippen te maken. Verdien ik wel evenveel salaris als mijn directe collega?

Maar nu: zijn er meer of minder natuurlijke getallen (1, 2, 3, 4, …) dan er even natuurlijke getallen (2, 4, 6, 8, …) zijn? In eerste instantie denkt u misschien dat het er meer zijn. De tweede categorie krijg je namelijk uit de eerste door de oneven natuurlijke getallen eruit te zeven. En als je ergens iets uithaalt worden het er minder, toch? NB: ik reken 0 hier even niet tot die natuurlijke getallen.

2vrijeval_pisaGalileo’s paradox

Galileo Galilei, die wij beter kennen doordat hij de aarde uit het centrum van het heelal weghaalde en van zijn valproeven, dacht lang over dit vraagstuk na en stuitte op wat hij toen als een tegenstrijdigheid zag.

Als je namelijk de elementen uit de eerste verzameling (1, 2, 3, 4, …) stuk voor stuk met 2 vermenigvuldigt, dan krijg je alle elementen uit de tweede verzameling (2, 4, 6, 8, …).

Er worden zo steeds paren gevormd, zoals (1,2), (2,4), (3,6) enzovoorts (eerste van het koppel komt uit de eerste verzameling, tweede uit de tweede), en niemand blijft als single over (een-op-een correspondentie; wiskundig: bijectie). In de eerste verzameling zitten dus evenveel elementen als in de tweede, zo lijkt het nu.

Deze paradox, want dat blijkt het te zijn, is gelegen in het feit dat wij hier te maken hebben met twee oneindige verzamelingen. De begrippen kleiner dan, evenveel, groter dan – zo vaak gebruikt in het dagelijks spraakgebruik – blijken een essentieel onderdeel te zijn van wat Georg Cantor (1845 – 1918) ontwikkelde: zijn Verzamelingenleer. Cantors ideeën over het begrip oneindig leunen sterk op zijn Verzamelingenleer, maar zijn in de praktijk tegelijkertijd met die leer ontwikkeld.

Een volgende keer eerst iets meer over die verzamelingenleer en over het begrip kardinaliteit. 


Infinity III: limieten, oneindigheden en Cantor 

LimietAsymp3

Als ik mijn privéleerlingen duidelijk moet maken wat een horizontale asymptoot van een grafiek is, wijs ik wat vaag naar rechts (of links) op de tekening en zeg dan zoiets als “Als je maar ver genoeg naar rechts (links) gaat kruipt de grafiek (die rode lijn) steeds dichter naar die (horizontale) lijn toe.”

Daarmee bouw ik voort op wat Aristoteles het potentieel oneindige noemde. Dit ter onderscheiding van het begrip actueel oneindig.

Proces

Het begrip oneindig is in die benadering meer een proces dan een toestand: je kunt steeds nog iets verder naar rechts (links), en dan nog iets verder, en dan nog iets verder, en … . Zoiets gebeurt ook als je de natuurlijke getallen (1, 2, 3,..) steeds met 1 laat toenemen: als je denkt dat je nu eindelijk eens bij dat oneindig bent aangekomen (het actuele oneindig), dan kan iemand anders altijd zeggen “Ja, maar tel bij dat getal nu nog maar eens 1 op.”

0Limiet naar oneindig

Toen in de zeventiende eeuw wiskundigen als Newton en Leibniz de Differentiaal & Integraalrekening ontwikkelden, hadden zij behoefte aan het begrip limiet als x naar oneindig. Dat is in de kern het proces dat hierboven beschreven staat, waarbij die x de variabele is. Ik merk voor de volledigheid nog op dat het symbool ∞, de lemniscaat, gebruikt wordt voor het begrip oneindig.

Erg diep gingen zij toen nog niet in op de precieze wiskundige betekenis van dat begrip oneindig. Dat was ook niet nodig: Newton gebruikte die Differentiaal & Integraalrekening vooral om natuurkundige processen, en dan met name bewegingen, te beschrijven. En voor een (theoretisch) natuurkundige geldt: als iets werkt, dan is het (in ieder geval voorlopig) goed.

Cantor

Het was de Deens/Duits/Russische Georg Cantor die het begrip oneindig een stuk preciezer in kaart bracht en er zo bijvoorbeeld achter kwam dat de ene oneindige verzameling niet even groot hoeft te zijn als de andere.

Om dat ook voor u aannemelijk te maken besteed ik maandag eerst wat aandacht aan Cantors Verzamelingenleer en dan met name aan de een-op-een correspondentie uit die leer.


 Infinity IV: verzamelingen en tellen

0149109Verzamelingen

U bezit vast wel een of andere verzameling, bijvoorbeeld van oude postzegels, of van modieuze schoenen, of van voetbalplaatjes.

Stel u nu voor dat u elk item (wiskundigen zouden in dit verband zeggen: element) daarvan in een bakje legt en al die bakjes zet u vervolgens naast elkaar op een plank. Op een tweede plank plaatst u ook bakjes, maar die vult u achtereenvolgens met getallen uit de telrij: 1, 2, 3, 4, …

Vervolgens plaatst u elk bakje van de eerste plank naast een bakje op de tweede plank. Dan is het getal dat in het bakje zit waar u het laatste bakje van de eerste plank naast zet het aantal items (elementen) van die verzameling.

14
aantal: 14

Dit lijkt een nogal omslachtige procedure (tellen leer je toch als kind al?), maar dit onderstreept dat het aantal elementen (ik blijf nu maar even het wiskundige woord gebruiken) van een verzameling niet iets is dat inherent aan die verzameling is.

Massahuwelijk

Eigenlijk heeft alleen het vergelijken van aantallen betekenis: is een aantal meer, minder of evenveel dan/als een ander aantal? Als geldt dat bij ieder element van een verzameling precies één element uit een andere verzameling hoort én dit ook andersom geldt (één-op-één-correspondentie; bijectie) dan is het aantal elementen van beide verzamelingen gelijk.

Als wij zo’n paarvorming nu eens opvatten als een huwelijk tussen man en vrouw en het totale proces als een massahuwelijk, zoals bijvoorbeeld bij de Moonies heel gebruikelijk, dan blijft er echt niemand als single achter. Blijven er singles over dan zijn beide aantallen (mannen en vrouwen in het voorbeeld) niet gelijk geweest.

Kardinaliteit

Het aantal elementen uit een verzameling noemen wij de kardinaliteit van die verzameling.

Welke verzameling u ook heeft en hoe uitgebreid deze ook is, het zal altijd een eindige verzameling zijn. U heeft tien vingers, twee oren, een mond, tenminste als het u een beetje mee heeft gezeten: allemaal eindige getallen. Het begrip kardinaliteit wordt pas echt interessant bij oneindige verzamelingen. Dan hebben wij geen eindig getal uit de telrij meer voor de kardinaliteit. Maar we hebben nu wel bovenstaande procedure om uit te maken of de aantallen (eigenlijk: kardinaliteiten) van twee (oneindige) verzamelingen gelijk zijn.

En wat blijkt dan? Dat het ene oneindig niet het andere is! Een volgende keer meer hierover. Als u erg ongeduldig bent kunt u al kijken naar wat (Wiskundemeisje-af) Ionica Smeets hier al eerder over schreef in de Volkskrant.


 Infinity V: Hilbert’s Hotel

Zoals ik de vorige keer al schreef: het ene oneindig is het andere oneindig niet. Maar laat ik u, voordat ik hierover verder ga, eerst meenemen naar Hilbert’s Hotel, waar ook de presentatie van de chocolade Infinity plaats vond. Dit hotel zit vol paradoxen.

6790453684_2b9e6ccd86_zHilbert’s Hotel

Het hotel telt een aftelbaar oneindig aantal kamers. Wat dat aftelbaar precies is, dat definieer ik nu nog niet, ga voorlopig maar op de intuïtieve betekenis van het woord af.

Het hotel zit op een zekere avond helemaal vol, alle kamers zijn bezet, dus zijn er ook oneindig veel gasten.

hotel-hilbert∞ + 1 = ∞

Nog net voor de receptie sluit arriveert er nog een gast. De receptionist zegt: “Sorry, we zitten helemaal vol, er is geen plaats meer voor u.” Maar dan grijpt de manager in, met een voorstel: “Laat elke gast nu naar een andere kamer verhuizen waarvan het kamernummer 1 hoger is dan het kamernummer dat hij had. Dus de gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, de gast in kamer 2 gaat naar 3, enzovoorts. Kamer 1 komt zo vrij en de nieuwe gast kan daar terecht.”. Zo gezegd, zo gedaan, probleem opgelost: ∞ + 1 = ∞

cropped-longbus∞ + ∞ = ∞

De volgende avond komt er, terwijl het hotel nog steeds bomvol zit, een bus voorrijden. Daarin zitten (aftelbaar) oneindig veel toeristen, die ook graag allemaal een slaapplaatsje in het hotel willen. Ook deze keer is de manager inventief: “Laat de huidige gasten opschuiven naar een kamer met een nummer dat 2 maal zo groot is als hun huidige kamernummer. Dus de persoon van kamer 1 gaat naar 2, die in 2 naar 4, die in 3 naar 6, enzovoorts. Zo komt een (aftelbaar) oneindig aantal kamers, met een oneven kamernummer, vrij en kunnen alle toeristen uit de bus bij ons terecht.” Zo gezegd, zo gedaan, iedereen tevreden (al zal er wel wat gemopperd zijn over al die verhuizingen): ∞ + ∞ = ∞

Evenveel = gelijkmachtig

Wat er in de bovenstaande alinea gebeurt is dat wat ik al in een eerdere aflevering van deze serie beschreef: kennelijk zitten er in de verzameling getallen uit de telrij (1, 2, 3, …) evenveel elementen als in de verzameling even getallen (elke oude hotelgast verhuist naar een kamer met een even nummer). Ook in de verzameling oneven getallen (de nummers van de kamers die vrijkomen) zitten evenveel getallen. Of, in termen van dat wat ik de vorige keer behandelde: de kardinaliteit van deze verzamelingen is hetzelfde. De drie verzameling zijn, zoals dat is gaan heten, gelijkmachtig.

[In die eerdere aflevering had ik het over de natuurlijke getallen, waartoe ik toen ook het getal 0 rekende, niet over de telrij. Dat doet aan het hierboven beschreven principe niets af.].

Het kan nog gekker: als er de volgende avond nu eens (aftelbaar) oneindig veel bussen komen voorrijden, elk met een oneindig aantal toeristen? Als u de hotelmanager was, wist u dan iedereen te huisvesten?

Reacties

Dit laatste probleem laat ik zelf even rusten, ik wil u niet al te gek maken met dit soort paradoxen. U kunt natuurlijk wel een reactie achterlaten met een oplossing!

In de volgende aflevering ga ik wel in op het begrip aftelbaar oneindig.


 Infinity VI: aftelbaar oneindig en overaftelbaar

$_84
Borduurvoorbeelden
Aftelbaar

In de vorige aflevering ben ik bewust wat gemakkelijk heen gestapt over de precieze betekenis van het begrip aftelbaar. Dat deed ik door een beroep te doen op uw intuïtie. Voor eindige verzamelingen lijkt mij dat wel voldoende.

Maar wat betekent dat aftelbaar nu voor oneindige verzamelingen? Met het tellen van de elementen daarvan zijn we nooit klaar (vandaar dat oneindig), maar dat aftelbaar betekent dat er wél een telsysteem te bedenken valt voor die elementen, waarmee je alle elementen als het ware van een nummertje kunt voorzien.

Bij de natuurlijke getallen ligt het voor de hand dat dit kan, maar hoe zit het nu met rationale getallen (in de wandeling vaak breuken genoemd, maar een breuk is vooral een schrijfwijze)? Voorbeelden: 1/2, 2/7, 9/4, -2/5, -5/2, 8/4. Dit is in ieder geval een oneindige verzameling, dat tellen stopt nooit.

Systematisch tellen?

Maar is het ook een aftelbare verzameling? Dan zouden we een telsysteem moeten ontwerpen waarmee alle rationale getallen van een nummertje kunnen worden voorzien. Dat kán en hieronder staat in een plaatje dat meer zegt dan woorden. Alle breuken zijn daar in een schema gevangen en met de rode lijn wandel je door dat schema heen. Zo kan ieder getal een nummertje krijgen.

oneindig6Toelichting: in een breuk staat in de teller het nummer van de bijbehorende rij, in de noemer het nummer van de bijbehorende kolom. Zo komt de breuk 2/5 in de tweede rij en in de vijfde kolom.

 

 

 

Overaftelbaar

Er zijn ook verzamelingen die niet aftelbaar oneindig zijn, die heten dan overaftelbaar. De verzameling van de reële getallen is een voorbeeld. Of, meer meetkundig: de verzameling van alle punten op de getallenlijn.

750px-Number-line.svg

De wiskundige Cantor bewees dat met een tamelijk eenvoudig bewijs.

100419-awesome-professorGeen college wiskunde

Deze berichtjes vormen geen college wiskunde, dus ik laat het hierbij. Bent u geïnteresseerd in een echt wiskundige behandeling, dan raad ik u aan dit online college van de TUDelft te volgen, dat is op het niveau van eerstejaars (?) wiskundestudenten.

 


 Infinity VII: afronding van deze serie

7049660_origWij zijn nu op het einde van deze serie gekomen. Deze diende om u het een en ander te vertellen over het fascinerende begrip oneindig in de wiskunde én als opmaat voor de lancering van mijn nieuwste chocoladeletter, de Infinity, volgende week dinsdag, 23 september.

Het verhaal van oneindig is echter nog lang niet af! De vorige keer behandelde ik de begrippen aftelbaar en overaftelbaar oneindig. Maar er valt nog zo veel meer te vertellen.

300950Alef

Bijvoorbeeld over het symbool hiernaast, de alef, de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet. En over het gebruik hiervan door de wiskundige Georg Cantor om de grootte van verschillende soorten oneindig te onderscheiden (alef-getal).

Want, zoals u in de aflevering van de vorige keer hebt gezien: niet alle oneindige verzamelingen zijn even groot! Of preciezer uitgedrukt: oneindige verzamelingen kunnen een verschillende kardinaliteit hebben.

Nog veel meer

En ik heb het ook nog niet over nóg vreemdere oneindige verzamelingen gehad: verzamelingen die bestaan uit deelverzamelingen van zichzelf. Ook de continuumhypothese van diezelfde Cantor kwam niet aan bod. Dat is jammer, al was het alleen maar om u te laten zien dat er in de wiskunde soms bewezen kan worden dat een bepaalde stelling niet kán worden bewezen (of kan worden ontkracht).

Maar goed, dit is natuurlijk geen college wiskunde. Wilt u meer over oneindig weten, dan komt u door de in de serie aangereikte wiskundige begrippen als Google-zoekterm te gebruiken een heel eind.

Chocolate_fractalErgens geen chocola van kunnen maken

Kunt u er nu nog geen chocola van maken? Ik kon dat gelukkig wel.

Wilt u van de resutaten van mijn inspanningen meegenieten, leg uw slaapzak dan alvast maar klaar voor de ingang van mijn webwinkeltje ! De deuren gaan in de nacht van 22 op 23 september (begin astronomische herfst) voor u open. Ik heet u alvast van harte welkom!

 

tastymaths_zw_kleiner

Uw reactie