Deling door een breuk is GEEN ‘vermenigvuldiging met omgekeerde’

Althans, deze regel presenteren wij in Wiswijs (volgend jaar verschijnt de vierde druk) niet als een trucje, maar als iets dat je kunt begrijpen!


80 kg rijst moet verpakt worden in balen van 5 kg. Hoeveel balen worden dat? 80 : 5 = 16 balen (want 5 × 16 = 80).

6 kg drop moet verpakt worden in zakjes van 1/8 kg. Hoeveel zakjes worden dat? Uit 1 kg haal je 8 zakjes, dus uit 6 kg haal je 6 × 8 = 48 zakjes. Net als boven kun je dit ook schrijven als 6 : 1/8 . Blijkbaar is 6 : 1/8 hetzelfde als 6 × 8 (= 6 × 8/1).

Als die drop nu in zakjes van 3/8 kg verpakt moeten worden? De zakjes zijn nu drie maal zo groot, dus zullen er drie keer zo weinig zakjes gevuld worden.

6 : 3/8 = (6 × 8) / 3 = 6 × 8/3

Dus altijd geldt: delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk. 


Hieronder het hele eerste hoofdstuk uit de vorige druk van Wiswijs. U kunt het boek (3e druk) bijvoorbeeld hier kopen. Lees daar ook de recensies. Let wel: de vierde druk wordt nog beter ;-) !

 

Download the PDF file .

9 thoughts on “Deling door een breuk is GEEN ‘vermenigvuldiging met omgekeerde’”

  1. Reactie op Hans Wisbrun’s replay op mijn post van 9 January 2017 at 20:07.
    Daar kan ik het, zeker in grotere lijnen, wel mee eens zijn. En ik kan niet anders dan met positieve bewoordingen spreken over uw boek Wiswijs omdat het, zeker met het doel wat u noemt, helder en behulpzaam is voor de doelgroep.
    Het blijft bij didactische zaken een kwestie van wie je voor je hebt en wat je wilt bereiken, en langs welke weg je dat wilt. Persoonlijk vond ik de stap op blz. 28 dus wat erg snel om het algemene beeld van de regel op te roepen. En ook in uw geval ontkomt de uitleg niet aan het hanteren van andere, voorgaande regels. Dat is geen probleemverschuiven maar een opbouw plegen.
    Zoals opgemerkt, het gaat mij om een VO-uitleg (maar niet om een eerstejaarscollege) en in alle gevallen gaat een goede docent natuurlijk uit van de leerlingen die hij voor zich heeft, de doelgroep, en het doel.
    Succes met de 4e druk.

    1. Dank voor uw positieve reactie!
      Voor een doelgroep als de onze, die alles al een keer (op zijn minst) gezien heeft, is het voor ons als auteurs inderdaad steeds de vraag, hoe lang of hoe kort je iets presenteert. Kies je voor kort, dan is de kans groot dat er wederom geen begrip volgt. Kies je voor lang dan haakt men af, omdat het doel meestal niet de wiskunde zelf is, maar een studie in het hoger onderwijs (met name sociale wetenschappen, economie, bedrijfskunde, …). Wij proberen in ons boek een gulden middenweg te kiezen, net als wij een middenweg kiezen tussen de realistische wiskundedidactiek en de meer traditionele aanpak.

      Wat betreft die vierde druk: ik houd u (via Twitter) op de hoogte! De kopij wordt nog deze maand bij de uitgever ingeleverd, maar daarna volgt er nog een lang productieproces.

    1. Ik zie in de “verbeelding” de regel van het vermenigvuldigen met het omgekeerde niet terug.
      Hans Wisbrun verdeelt 6 kg eerst over zakjes van 1/8 kg en merkt dan op dat je er met 3/8 kg 3 keer zo weinig krijgt, dus 6 x 8 / 3.
      Het wordt een lastig verhaal om te verbeelden als je probeert 3/4 kg te verdelen over zakjes van 5/16 kg, maar uiteindelijk moet de “verbeelding” toch tot abstractie kunnen leiden, tot het meekrijgen dat (a/b) : (c/d) = (a/b) x (d/c)
      Persoonlijk geef ik toch de rekenkundige uitleg via (5/6) / (3/8) = (5/6 x 8) / (3/8 x 8) = (5/6 x 8) / 3 = (5/6) x (8/3)
      (met horizontale breukstrepen ziet het er wat mooier uit)
      de voorkeur, ook al omdat ik bij analyse ook graag gebruik maak van de regel: “een breuk uit de noemer verwijderen door teller en noemer met de noemer van die breuk te vermenigvuldigen”. Dat lijkt me ook een hele plausibele regel, ook wel om te onthouden.
      Maar na heb ik het over VO- en niet over PO-niveau natuurlijk.

      1. Al gaat uw betoog niet zo zeer over mijn eigen blogbericht, maar over de beelden die Peter te Riele erbij maakte, toch even een reactie. Maar deze gaat niet over die ‘verbeelding’.

        Ja, u ziet geen wiskundig waterdicht bewijs. En het wordt alleen geïllustreerd voor die 6 kilo. Niet voor 5, niet voor 4, ook niet voor 3/4 kilo. Maar moet dat dan? Die 3/4 kilo drop hoeft overigens helemaal niet, want het gaat erom dat je ‘iets’ deelt door een breuk, wat dat ‘iets’ ook is, een gebroken getal of een natuurlijk getal. In het boek staat de algemene vorm, met a‘s en b‘s en dergelijke overigens wel. Zie het hele hoofdstuk hieronder.

        Maar uw opmerking geeft me mooi de gelegenheid erop te wijzen, dat het hier gaat om didactiek, een manier om regels niet zo maar uit de lucht te laten vallen. Een keuze voor begrip en niet voor onbegrepen regels. Het is echter geen eerstejaarscollege wiskunde.

        Maar u kunt natuurlijk de voorkeur (blijven) geven aan uw eigen (rekenkundige) uitleg. Deze steunt echter weer op andere regels, namelijk die voor het vermenigvuldigen van breuken. Dat is het verschuiven van het probleem, lijkt mij. Gelukkig kan iedere docent zo zijn eigen wijze van uitleggen kiezen. Dit is onze (ik schreef het boek samen met Fred Pach) wijze. De doelgroep (vaak mensen die eerder in het vo slechte ervaringen hebben opgedaan met hun wiskundeonderwijs of wiskundedocent) vaart er wel bij.

  2. Was mooi geweest als het zou worden ondersteund met beeld. Met andere woorden: Grote glazen pot met 6 kg drop. En daarna 8 zakjes die een kilo maken en dat dan 8x. In een oogopslag kun je de som zien.

    1. Mee eens. Maar Wiswijs is niet geschreven voor het basisonderwijs, maar voor leerlingen/studenten die tussen voortgezet en hoger onderwijs in zitten (opfrissen/repareren/aanvullen). Meestal volwassenen. Deze hebben minder behoefte aan beeld.

      1. Hebben volwassenen minder behoefte aan beeld? Zo zien de leerboeken er meestal wel uit. Ik waag te betwijfelen dat dat zo is. Als het gaat om opfrissen en inzicht geven, dan helpt het juist om ook beelden toe te voegen. Ik was al bezig om een poging te wagen en dat viel nog niet mee.
        Ik zal het resultaat op mijn blog zetten.

      2. Over die behoefte van volwassenen valt wel te twisten. In ieder geval zijn de boeken in vo en bo met al die plaatjes erin minder geschikt voor deze doelgroep.

        Maar van figuren die echt functioneel zijn maken wij zeker gebruik in Wiswijs. Ik ben benieuwd naar de uitkomst van je poging!

Uw reactie