#Infinity VI: aftelbaar oneindig en overaftelbaar

$_84
Borduurvoorbeelden

In de vorige aflevering ben ik bewust wat gemakkelijk heen gestapt over de precieze betekenis van het begrip aftelbaar. Dat deed ik door een beroep te doen op uw intuïtie. Voor eindige verzamelingen lijkt mij dat wel voldoende.

Maar wat betekent dat aftelbaar nu voor oneindige verzamelingen? Met het tellen van de elementen daarvan zijn we nooit klaar (vandaar dat oneindig), maar dat aftelbaar betekent dat er wél een telsysteem te bedenken valt voor die elementen, waarmee je alle elementen als het ware van een nummertje kunt voorzien.

Bij de natuurlijke getallen ligt het voor de hand dat dit kan, maar hoe zit het nu met rationale getallen (in de wandeling vaak breuken genoemd, maar een breuk is vooral een schrijfwijze)? Voorbeelden: 1/2, 2/7, 9/4, -2/5, -5/2, 8/4. Dit is in ieder geval een oneindige verzameling, dat tellen stopt nooit.

Aftelbaar?

Maar is het ook een aftelbare verzameling? Dan zouden we een telsysteem moeten ontwerpen waarmee alle rationale getallen van een nummertje kunnen worden voorzien. Dat kán en hieronder staat een plaatje dat meer zegt dan woorden. Alle breuken zijn daar in een schema gevangen en met de rode lijn wandel je door dat schema heen. Zo kan ieder getal een nummertje krijgen.

oneindig6Toelichting: in een breuk staat in de teller het nummer van de bijbehorende rij, in de noemer het nummer van de bijbehorende kolom. Zo komt de breuk 2/5 in de tweede rij en in de vijfde kolom.

 

 

 

 

Overaftelbaar

Er zijn ook verzamelingen die niet aftelbaar oneindig zijn, die heten dan overaftelbaar. De verzameling van de reële getallen is een voorbeeld. Of, meer meetkundig: de verzameling van alle punten op de getallenlijn.

750px-Number-line.svg

De wiskundige Cantor bewees dat met een tamelijk eenvoudig bewijs.

Geen college wiskunde

100419-awesome-professorDeze berichtjes vormen geen college wiskunde, dus ik laat het hierbij. Bent u geïnteresseerd in een echt wiskundige behandeling, dan raad ik u aan dit online college van de TUDelft te volgen, dat is op het niveau van eerstejaars (?) wiskundestudenten.

Terzijde

Toen ik zelf (theoretische natuurkunde) studeerde begreep ik de stof van een wiskundecollege lang niet altijd, om er jaren later achter te komen dat dat niet aan mij had gelegen, maar aan de dienstdoende docent. De docent van dit college, Mark Veraar, vind ik echter heel duidelijk in zijn uitleg en hij probeert zijn studenten ook bij zijn verhaal te betrekken. Aanrader dus, maar – zoals gezegd – wel op niveau.

tastymaths_zw_kleiner

Uw reactie