#Infinity V: Hilbert’s Hotel

Zoals ik de vorige keer al schreef: het ene oneindig is het andere oneindig niet. Maar laat ik u, voordat ik hierover verder ga, eerst meenemen naar Hilbert’s Hotel, waar ook de presentatie van de chocolade Infinity plaats vond. Dit hotel zit vol paradoxen.

hotel3Het hotel telt een aftelbaar oneindig aantal kamers. Wat dat aftelbaar precies is, dat definieer ik nu nog niet, ga voorlopig maar op de intuïtieve betekenis van het woord af.

Het hotel zit op een zekere avond helemaal vol, alle kamers zijn bezet, dus zijn er ook (aftelbaar) oneindig veel gasten.

∞ + 1 = ∞

hotel-hilbertNog net voor de receptie sluit arriveert er nog een gast. De receptionist zegt: “Sorry, we zitten helemaal vol, er is geen plaats meer voor u.” Maar dan grijpt de manager in, met een voorstel: “Laat elke gast nu naar een andere kamer verhuizen waarvan het kamernummer 1 hoger is dan het kamernummer dat hij had. Dus de gast in kamer 1 gaat naar kamer 2, de gast in kamer 2 gaat naar 3, enzovoorts. Kamer 1 komt zo vrij en de nieuwe gast kan daar terecht.”. Zo gezegd, zo gedaan, probleem opgelost.

 

cropped-longbus∞ + ∞ = ∞

De volgende avond komt er, terwijl het hotel nog steeds bomvol zit, een bus voorrijden. Daarin zitten (aftelbaar) oneindig veel toeristen, die ook graag allemaal een slaapplaatsje in het hotel willen. Ook deze keer is de manager inventief: “Laat de huidige gasten opschuiven naar een kamer met een nummer dat 2 maal zo groot is als hun huidige kamernummer. Dus de persoon van kamer 1 gaat naar 2, die in 2 naar 4, die in 3 naar 6, enzovoorts. Zo komt een (aftelbaar) oneindig aantal kamers, met een oneven kamernummer, vrij en kunnen alle toeristen in de bus bij ons terecht.” Zo gezegd, zo gedaan, iedereen tevreden (al zal er wel wat gemopperd zijn over al die verhuizingen).

Evenveel = gelijkmachtig

Wat er in de bovenstaande alinea gebeurt is dat wat ik al in een eerdere aflevering van deze serie beschreef: kennelijk zitten er in de verzameling getallen uit de telrij (1, 2, 3, …) evenveel elementen als in de verzameling even getallen (elke oude hotelgast verhuist naar een kamer met een even nummer). Ook in de verzameling oneven getallen (de nummers van de kamers die vrijkomen) zitten evenveel getallen. Of, in termen van dat wat ik de vorige keer behandelde: de kardinaliteit van deze verzamelingen is hetzelfde. De drie verzameling zijn, zoals dat is gaan heten, gelijkmachtig.

[In die eerdere aflevering had ik het over de natuurlijke getallen, waartoe ik toen ook het getal 0 rekende, niet over de telrij. Dat doet aan het hierboven beschreven principe niets af.].

Het kan nog gekker: als er de volgende avond nu eens (aftelbaar) oneindig veel bussen komen voorrijden, elk met (aftelbaar) oneindig veel toeristen? Als u de hotelmanager was, wist u dan iedereen te huisvesten?

Reacties

Dit laatste probleem laat ik zelf even rusten, ik wil u niet al te gek maken met dit soort paradoxen. U kunt natuurlijk wel een reactie achterlaten met een oplossing!

In de volgende aflevering ga ik wel in op het begrip aftelbaar oneindig.

 

Deze serie wordt u aangeboden door

tastymaths_zw_kleiner

 

Uw reactie