#Infinity IV: verzamelingen en tellen

0149109Verzamelingen

U bezit vast wel een of andere verzameling, bijvoorbeeld van oude postzegels, of van modieuze schoenen, of van voetbalplaatjes. Stel u nu voor dat u elk item (wiskundigen zouden in dit verband zeggen: element) daarvan in een bakje legt en al die bakjes zet u vervolgens naast elkaar op een plank. Op een tweede plank plaatst u ook bakjes, maar die vult u achtereenvolgens met getallen uit de telrij: 1, 2, 3, 4, …

Vervolgens plaatst u elk bakje van de eerste plank naast een bakje op de tweede plank. Dan is het getal dat in het bakje zit waar u het laatste bakje van de eerste plank naast zet het aantal items (elementen) van die verzameling.

14
aantal: 14

Dit lijkt een nogal omslachtige procedure (tellen leer je toch als kind al?), maar dit onderstreept dat het aantal elementen (ik blijf nu maar even het wiskundige woord gebruiken) van een verzameling niet iets is dat inherent aan die verzameling is.

Massahuwelijk

Eigenlijk heeft alleen het vergelijken van aantallen betekenis: is een aantal meer, minder of evenveel dan/als een ander aantal? Als geldt dat bij ieder element van een verzameling één element uit een andere verzameling hoort én dit ook andersom geldt (een-op-een-correspondentie; bijectie) dan is het aantal elementen van beide verzamelingen gelijk.

Als wij zo’n paarvorming nu eens opvatten als een huwelijk tussen man en vrouw en het totale proces als een massahuwelijk, zoals bijvoorbeeld bij de Moonies heel gebruikelijk, dan blijft er echt niemand als single achter. Blijven er singles over dan zijn beide aantallen (mannen en vrouwen in het voorbeeld) niet gelijk geweest.

Kardinaniliteit

Het aantal elementen uit een verzameling noemen wij de kardinaliteit van die verzameling.

Welke verzameling u ook heeft en hoe uitgebreid deze ook is, het zal altijd een eindige verzameling zijn. U heeft tien vingers, twee oren, een mond, tenminste als het u een beetje mee heeft gezeten: allemaal eindige getallen. Het begrip kardinaliteit wordt pas echt interessant bij oneindige verzamelingen. Dan hebben wij geen eindig getal uit de telrij meer voor de kardinaliteit. Maar we hebben nu wel bovenstaande procedure om uit te maken of de aantallen (eigenlijk: kardinaliteiten) van twee (oneindige) verzamelingen gelijk zijn.

En wat blijkt dan? Dat het ene oneindig niet het andere is! Een volgende keer meer hierover. Als u erg ongeduldig bent kunt u al kijken naar wat (Wiskundemeisje-af) Ionica Smeets hier al eerder over schreef in de Volkskrant.

 

Deze serie wordt u aangeboden door:

tastymaths_zw_kleiner

 

Uw reactie