#Infinity III: limieten, oneindigheden en Cantor

LimietAsymp3

Als ik mijn privéleerlingen duidelijk moet maken wat een horizontale asymptoot van een grafiek is, wijs ik wat vaag naar rechts (of links) op de tekening en zeg dan zoiets als “Als je maar ver genoeg naar rechts (links) gaat kruipt de grafiek (die rode lijn) steeds dichter naar die (horizontale) lijn toe.”

Daarmee bouw ik voort op wat Aristoteles het potentieel oneindige noemde. Dit ter onderscheiding van het begrip actueel oneindig.

Proces

Het begrip oneindig is in die benadering meer een proces dan een toestand: je kunt steeds nog iets verder naar rechts (links), en dan nog iets verder, en dan nog iets verder, en … . Zoiets gebeurt ook als je de natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3,..) steeds met 1 laat toenemen: als je denkt dat je nu eindelijk eens bij dat oneindig bent aangekomen (het actuele oneindig), dan kan iemand anders altijd zeggen “Ja, maar tel bij dat getal nu nog maar eens 1 op.”

0Limiet naar oneindig

Toen in de zeventiende eeuw wiskundigen als Newton en Leibniz de Differentiaal & Integraalrekening ontwikkelden, hadden zij behoefte aan het begrip limiet als x naar oneindig. Dat is in de kern het proces dat hierboven beschreven staat, waarbij die x de variabele is. Ik merk voor de volledigheid nog op dat het symbool ∞, de lemniscaat, gebruikt wordt voor het begrip oneindig.

Erg diep gingen zij toen nog niet in op de precieze wiskundige betekenis van dat begrip oneindig. Dat was ook niet nodig: Newton gebruikte die Differentiaal & Integraalrekening vooral om natuurkundige processen, en dan met name bewegingen, te beschrijven. En voor een (theoretisch) natuurkundige geldt: als iets werkt, dan is het (in ieder geval voorlopig) goed.

 Cantor

Het was de Deens/Duits/Russische Georg Cantor die het begrip oneindig een stuk preciezer in kaart bracht en er zo bijvoorbeeld achter kwam dat de ene oneindige verzameling niet even groot hoeft te zijn als de andere.

Om dat ook voor u aannemelijk te maken besteed ik maandag eerst wat aandacht aan Cantors Verzamelingenleer en dan met name aan de een-op-een correspondentie uit die leer.

 

Alle delen van deze serie vindt u hier. Deze serie wordt u aangeboden door:

tastymaths_zw_kleiner

Uw reactie