#Infinity II: Blik op Oneindig

Meer, minder of evenveel?

Zijn er meer mensen op aarde dan er mobiele telefoonabonnementen zijn? Deze vraag is in principe goed te beantwoorden (antwoord: nu nog wel, vanaf 2015 vermoedelijk niet meer). Is er minder voedsel op aarde dan er monden om te voeden zijn? Dat is al een wat lastiger vraag, maar dat heeft vooral met de definities van de begrippen te maken. Verdien ik wel evenveel salaris als mijn directe collega?

Maar nu: zijn er meer of minder even natuurlijke getallen (0, 2, 4, 6, 8, ...) dan er natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3, 4, ...) zijn? In eerste instantie denkt u misschien dat het er minder zijn. De eerste categorie krijg je namelijk uit de tweede door de oneven natuurlijke getallen eruit te zeven. En als je ergens iets uithaalt worden het er minder, toch?

Galileo's paradox

2vrijeval_pisaGalileo Galilei, die wij beter kennen doordat hij de aarde uit het centrum van het heelal weghaalde en zijn valproeven, dacht lang over dit vraagstuk na en stuitte op wat hij toen als een tegenstrijdigheid zag.

Als je namelijk de elementen uit de tweede verzameling (0, 1, 2, 3, 4, ...) stuk voor stuk met 2 vermenigvuldigt, dan krijg je alle elementen uit de eerste verzameling (0, 2, 4, 6, 8, ...).

Er worden zo steeds paren gevormd, zoals (0,0), (1,2), (2,4), (3,6) enzovoorts (eerste van het koppel komt uit de tweede verzameling, tweede uit de eerste verzameling), en niemand blijft als single over (een-op-een correspondentie; wiskundig: bijectie). In de eerste verzameling zitten dus evenveel elementen als in de tweede, zo lijkt het.

Deze paradox, want dat blijkt het te zijn, is gelegen in het feit dat wij hier te maken hebben met twee oneindige verzamelingen. De begrippen kleiner dan, evenveel, groter dan - zo vaak gebruikt in het dagelijks spraakgebruik - blijken een essentieel onderdeel te zijn van wat Georg Cantor (1845 - 1918) ontwikkelde: zijn verzamelingenleer. Cantors ideeën over het begrip oneindig leunen sterk op zijn verzamelingenleer, maar zijn in de praktijk tegelijkertijd met die leer ontwikkeld.

Een volgende keer dus eerst iets meer over die verzamelingenleer en over het begrip kardinaliteit. Dit als opmaat voor behandeling van de kern van deze serie: het begrip oneindig.

Ik houd, samen met de band BLØF, mijn Blik op Oneindig.

Deze serie wordt u aangeboden door:

tastymaths_zw_kleiner

Uw reactie