Euclidische Vakdidactiek (6): oefenen

oefening-baart-kunstDit is mijn eerste bericht van deze serie in 2014. Voor wie de serie niet vanaf het begin gevolgd heeft, hier staat een kort overzichtje.

Oefening baart zowel kunst als kunstjes. Geen zinnig mens, van welke (wiskunde)didactische overtuiging dan ook, zal ooit beweren dat je wiskunde kunt leren zonder oefening. Maar wanneer heeft het zin om te gaan oefenen?

Laat ik eerst, vooruitlopend op wat gaat komen, een onderscheid maken tussen leerstof waar echt helemaal niets aan te begrijpen valt, waar geen inzicht voor nodig is, en andere leerstof. Dat het symbool < in de wiskunde 'is kleiner dan' betekent, daar valt gewoon niets aan te begrijpen, dat zul je gewoon uit je hoofd moeten leren, al dan niet geholpen door een ezelsbruggetje. Het is een afspraak, die net zo goed anders had kunnen zijn.

Lotto-bal-23Lottoballen

Gelukkig is er in ons vak maar heel weinig dat je uit je hoofd moet leren, achter verreweg de meeste wiskundige begrippen zit namelijk ... begrip. Natuurlijk, je kúnt het vak opvatten als een grote bak met lottoballen, waar je op goed geluk maar wat regels uit pakt, zoals mijn eigen privéleerling Tomas dat deed. Maar vroeg of laat loop je dan vast.

Op die manier geleerd worden het op den duur gewoon veel te veel regels, je gaat ze door elkaar halen.

a1mNzFzfQacmjWfVz-fS4jl72eJkfbmt4t8yenImKBVvK0kTmF0xjctABnaLJIm9Wezenskenmerk wiskunde

Maar erger: zo'n aanpak ontkent een van de wezenskenmerken van ons mooie vak, namelijk dat het te begrijpen valt. Deze aanpak belemmert ook stappen voorwaarts, vanuit het gegeven dat nieuwe wiskundige theorie altijd voortbouwt op al bestaande. Ja, je kunt een eerstegraads vergelijking volstrekt zonder begrip, als een kunstje, oplossen (naar links/rechts brengen; wegstrepen; ..), maar hoe pak je dan al die andere vergelijkingen aan?

Oefenen van onbegrijpelijke begrippen

Voor de weinige zaken die je echt uit je hoofd moet leren geldt dat je al in een vroeg stadium kunt gaan oefenen. Op enig begrip hoef je in deze gevallen namelijk niet te gaan zitten wachten: dat zal toch nooit komen. Dus, bijvoorbeeld: twee kolommen met in de linkerkolom en in de rechterkolom getallen en dan als opdracht: 'Plaats het juiste ongelijkheidsteken.'

Oefenen van begrijpelijke begrippen

Op de lagere school haalde ik altijd tienen voor rekenen. Op het gymnasium werden dat, voor wiskunde, achten, maar gelukkig bleef ik de beste van de klas voor dat vak. Maar toch: ik begreep niet echt wat ik deed. Ik maakte mijn huiswerk, mijn proefwerken, maar ik had geen inzicht.

p_aufg1Dat laatste kwam genadeloos aan het licht toen, in de vijfde, het vak Stereometrie (zeg maar: 3D Meetkunde) werd geïntroduceerd. Bij de allereerste vraag in het boek liep ik al vast, ik begreep de vraagstelling niet eens, die was zo anders dan bij Algebra en Analyse, je had echt inzicht nodig. Mijn klasgenoot Henk R. begreep het wel onmiddellijk en streefde mij in dat vak dan ook direct voorbij.

Het is later, vlak voor het eindexamen, tot mijn opluchting allemaal toch nog 'goed' gekomen tussen mij en Stereometrie, doordat ik ontdekte dat veel examenvraagstukken toch neerkwamen op toepassing van die ene regel: je hebt bewezen dat een lijn loodrecht op een vlak staat als je kunt aantonen dat deze loodrecht op twee lijnen in dat vlak staan. Dat lukte mij, toch weer die acht. Maar wel zonder inzicht.

Dat inzicht kwam bij mij pas veel later, op de universiteit, toen het onderwijs daar ook op gericht was. Of misschien nog wel wat later: toen ik zelf wiskundeles ging geven en een wiskundeboek schreef.

Kletskoek(en)

Een van de voormannen van de Traditionalisten, Jan van de Craats, ontkracht, naar eigen zeggen, in zijn geruchtmakende pamflet Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen, een mythe uit het (realistische) rekenonderwijs: Eerst begrijpen, dan pas oefenen. Hij doet deze uitspraak over het rekenonderwijs op de basisschool, maar hij trekt dit in latere publicaties door naar het wiskundeonderwijs. Hij noemt deze mythe kletskoek en stelt zelfs dat het tegenovergestelde geldt: "Juist tijdens het oefenen ontstaat geleidelijk steeds meer begrip."

Ik noem, op mijn beurt, juist Jan's uitspraak kletskoek, al was het alleen maar op grond van mijn eigen ervaringen, als leerling én als leraar. Ik begrijp ook niet goed hoe een Hoogleraar in de wiskunde, die bovendien zelf heel aardige Zebraboekjes heeft geschreven, waarin hij juist mikt op dat inzicht, zo'n uitspraak kan doen. Alsof begrip vanzelf komt als je maar lang genoeg oefent.

Nee, Jan, voor begrip en inzicht is een docent nodig die zich in zijn of haar uitleg juist expliciet daarop richt. Doe je dat als docent niet, dan zal dat inzicht ook nooit, als een soort deus ex machina, over je leerlingen neerdalen, hoeveel sommen je die ook laat maken.

Ik had zelf twee goede wiskundedocenten op school. Maar met de kennis van nu zeg ik toch: als zij zich toen meer op dat inzicht hadden gericht, had er wat wiskunde betreft misschien nog wel wat meer voor mij ingezeten, was ik zelf Hoogleraar geworden.

Didactische kampen

Voor mij is een complicerende factor in Jans betoog dat hij zich met zijn de-mythologisering tegelijk ook afkeert van de didactiek van de Realistische Wiskunde. Dat doe ik niet. Maar ik ben zeker ook geen echte fan van die laatste stroming (de nadruk die gelegd wordt op 'realistische' contexten vind ik bijvoorbeeld onterecht). Ik blijf in het midden van de twee rivaliserende kampen staan, zoals ik in mijn artikel over de rekentoets al schreef.

En nogmaals: oefenen

Begrip en inzicht is namelijk inhaerent aan ons vak!

Oefenen hoort bij alle leren, dus ook bij het leren van wiskunde. Maar oefenen is vooral bedoeld om iets wat je begrepen hebt te verankeren, een stevige basis te leggen voor volgende stappen. Natuurlijk is er, ook in mijn opvatting, sprake van een groeiproces: je kunt best aan het oefenen gaan als je iets nog niet helemaal 100% begrijpt. Maar oefenen en denken dat het met begrip en inzicht dan wel automatisch goed komt, dat is van een naïviteit die ik niet van een Hoogleraar had verwacht.


 

Naschrift

Buiten uw zicht is er op grond van bovenstaand blogbericht een korte, aardige - want inhoudelijke en respectvolle - e-maildiscussie geweest met Jan van de Craats. Dat was natuurlijk ook wel te verwachten als je van iemand zegt dat deze kletskoek verkoopt ;-). Die term ontleende ik overigens aan Jans eigen pamflet.

In die discussie heb ik overigens geen aanleiding gezien bovenstaand bericht aan te passen. Ik voeg nog wel toe dat ik Jans opvattingen over de didactiek van het wiskundeonderwijs in het VO vooral ken via zijn Basisboek Wiskunde.

Jans pamflet gaat echter vooral over het rekenonderwijs in het basisonderwijs en in dat debat stel ik mij zelf terughoudend op, om de doodeenvoudige reden dat ik dat onderwijs niet van binnenuit ken. Zodra rekenen het VO binnenkomt steek ik wel mijn vingertje op, omdat ik daar wél wat vanaf weet, of in ieder geval denk te weten. Zie mijn eigen artikel over de rekentoets.

Tegengas

Ik denk dat het goed was dat Jan ooit gezorgd heeft voor wat tegengas, omdat het wiskundeonderwijs in de loop der jaren te veel een monocultuur is geworden, met eigenlijk maar één, dominante, didactische stroming, die van de Realistische Wiskunde.

Wij

Maar ik denk ook dat het nu hoogste tijd wordt voor een tweede pamflet van Jan: Hoe wij ervoor gaan zorgen dat Daan en Sanne beter gaan rekenen. In deze titel leg ik zelf de klemtoon op dat 'wij'.

Omdat Jan zich via e-mail tot mij persoonlijk richtte en, naar eigen zeggen, doelbewust geen reactie in het openbaar gaf, zal ik onze mailcorrespondentie hier niet publiceren.

6 thoughts on “Euclidische Vakdidactiek (6): oefenen”

  1. Psychologiseren is niet zonder risico”s. In de discussies over eerst begrijpen of eerst oefenen wordt nauwelijks of in het geheel geen poging gedaan om termen scherp te maken, situaties en onderwerpen te onderscheiden, en ga zo maar door. Dan heb ik het nog niet over empirisch toetsend onderzoek gehad. Bestaat er van dat onderzoek, dan? Ja, ik dacht het wel. Misschien al een eeuw oud, al ben ik er niet zeker van of Edward Thorndike (1924) zijn uitspraken over begrijpen versus oefenen in het rekenonderwijs concreet baseert op empirisch toetsend onderzoek.
    https://archive.org/details/psychologyofarit00thoruoft

    Interessante thematiek, en meer dan dat.

    1. Dank voor deze tip, Ben.!

      Als antiquarisch stuk is het boek natuurlijk heel erg aardig. Maar voor de huidige praktijk van het wiskundeonderwijs lijkt het mij van nul en generlei waarde.

      1. Het gaat bij Edward Thorndike en het Amerikaanse rekenonderwijs om een van de weinige succesvolle onderwijsvernieuwingen in de 20e eeuw. Daar zouden we maar van moeten willen weten.
        Daarna is het in de schrijverij over het rekenonderwijs vooral bergafwaarts gegaan: onderwisjkundigen gingen het veld domineren, zonder voldoende kennis van relevante psychologische theorie, mogelijk ook zonder relevante wiskundige kennis. Tenminste, dit lees ik in een overzicht van o.a. Lauren Resnick, in 1980 ‘The Psychology of Mathematics’ (ik heb het even geleend, als eBook, van de KB). Resnick, of course, is later vooral voorvechtster van de reform-didactiek (constructivisme, vaardigheden van de 21e eeuw).

        Ik heb een vast voornemen om over ‘begrijpen en oefenen’ nog eens een samenhangend artikel te schrijven, maar dat vergt een stevige investering van tijd.

        Quasi-psychologie is een stevig probleem in het onderwijsveld. En zeker ook in het wiskundeonderwijs (‘wiskundige denkactiviteiten’, achter Benjamin Bloom aan hobbelen) en in het ‘Handboek wiskundedidactiek’. Zie aantekeningen die ik bij het openingshoofdstuk van Anne van Streun maak (werk in uitvoering): http://www.benwilbrink.nl/literature/handboek_wiskundedidactiek.htm
        Er is nog heel wat werk aan de winkel. Jij ziet dat anders, maar dat boek van Thorndike uit 1924 is opvallend actueel. Zijn psychologische theorie is overigens goeddeels opgenomen in de huidige cognitieve theorie (John Anderson; Allen Newell; Stellan Ohlsson; Anders Ericsson), in een modern jasje gestoken als het ware.

      2. Beste Ben,

        Even voor de duidelijkheid: ik heb het in mijn serie over wiskundedidactiek (vooral in het VO), niet over rekendidactiek. Er zijn overeenkomsten, maar ook grote verschillen, al was het maar in het na te streven niveau van abstractie. Dat alleen al maakt het boek waarnaar je verwees niet zo relevant. Dat de omstandigheden in 1924 (!) heel anders zijn dan nu, dat kan ook jou niet ontgaan zijn. Maar wees gerust: ik zal het boek scannend lezen.

        Ik vind het zelf vooral jammer dat het debat over wiskundeonderwijs de laatste jaren nogal gedomineerd wordt door mensen die nog geen minuut zelf voor de klas hebben gestaan. Of dat nu onderwijspsychologen, onderwijskundigen, universitaire wiskundigen zijn, is mij dan om het even.

        Dezen kunnen natuurlijk best meepraten. Maar hun toon is vaak niet in overeenstemming met hun positie: die van een buitenstaander. Daar past een veel bescheidener opstelling bij.

        Laat de discussie maar aan wiskundeleraren en wiskundedidactici, die zijn daar namelijk speciaal voor opgeleid. Bovendien heeft hun leservaring hun wel geleerd dat er nog een aardig gat zit tussen theorie en praktijk. Dat gat hebben voornoemde onderwijsdeskundigen aan de zijlijn nog steeds niet weten te overbruggen. Als jouw artikel over 'begrijpen en oefenen' in wording een bijdrage aan dat overbruggen kan leveren: graag!

        Ik raad je wel aan: houd het kort. Je hebt technisch gezien een goede schrijfstijl, maar je artikelen zijn toch zo goed als onleesbaar, al was het alleen maar vanwege hun lengte.

        Dat lijkt mij zonde van al die inspanning, zeker waar je je op Twitter profileert als Mantelzorger voor het rekenonderwijs. Daaruit lees ik af dat je niet wilt schrijven voor het zuivere, academische, debat, maar als concrete ondersteuning voor de mensen die dag in dag uit voor de klas staan. Dat lijkt mij een uitstekende uitgangspositie: niet het eigen gelijk staat voorop, maar de dienstbaarheid.

  2. Het deel “Oefenen van begrijpelijke begrippen” is wat mij betreft volledig herkenbaar. Ik heb het precies zo ervaren in mijn ontwikkeling van lagere school tot wiskundedocent.
    Maar ik denk dat iemand, die dit proces bij zichzelf niet herkent of erkent het “eerst begrijpen, dan pas oefenen” gemakkelijk als mythe afdoet.
    Door van het huidige (realistisch genoemde) reken- en wiskundeonderwijs een karikatuur te maken en er nog wat gelijkgestemde wetenschappers bij te slepen om het eigen gelijk te onderstrepen gaat men voorbij aan de praktijk in de meeste wiskundeklaslokalen en de ervaring van veel wiskundedocenten, waar en voor wie inderdaad geldt: “voor begrip en inzicht is een docent nodig die zich in zijn of haar uitleg juist expliciet daarop richt”.
    Ik denk dat veel wiskundedocenten een middenweg tussen traditionele en realistische reken- en wiskundedidactiek volgen, het bijbrengen van begrip en inzicht zal bij velen een belangrijke rol spelen, het oefenen om te verankeren eveneens. En veel docenten zullen daarin hun eigen didactische weg volgen, waarin naar mijn gevoel de eerste twee meestal vooraf gaan aan de derde. Het boek is mooi, maar jouw eigen uitleg voor de klas (steeds vaker ondersteund met eigen lesmateriaal, ook digitaal) is meestal beter, toch? Dat boek levert dan daarna de oefenstof wel of je vult het aan met Van der Craats-achtige oefenstof.
    Dat ook met het oefenen, repeteren, meer begrip ontstaat en inzicht verder ontwikkeld wordt is natuurlijk ook waar, vooral als dat oefenen met evalueren van de gemaakte fouten gepaard gaat, maar dan moet je wel snappen wat er fout ging en niet domweg een kunstje nog maar eens herhalen.
    In de Tweede Fase werd het zelfstandig leren centraal gesteld en deed de docent als procesbegeleider een stapje terug. Inmiddels weten we dat dat geen betere resultaten oplevert. De docent krijgt z’n oorspronkelijke plaats in het proces weer terug en mag weer uitleggen.

  3. Helemaal mee eens! Eerst (zorgen dat ze het) begrijpen, dan pas (laten) oefenen, andersom kan zelfs averechts werken, want niet zelden worden er verkeerde conclusies getrokken.
    Verder merk ik graag op, dat, naast het verankeren van je kennis, oefenen vaak ook een erg praktische functie kan hebben, namelijk het tempo opvoeren waarin je je sommen maakt, zodat je je proefwerk binnen de gestelde tijd af kunt hebben.

Uw reactie